Re: [obm-l] Grupo Abeliano

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 30.10.03 21:32, Felipe Pina at pinaf@rjnet.com.br wrote:

> 
> Ola Claudio,
> 
> Hmmm, algumas observacoes...
> Como existem n+1 subgrupos de ordem n com intersecao trivial dois a
> dois, estes dao conta de       exatamente (n+1)*(n-1) + 1 elementos.. ou
> seja, n^2 - 1 + 1 = n^2 elementos
> Logo estes sao todos os elementos de G!
>
Concordo.
 
> Acho que isto é o suficiente para dizer que G é produto direto destes
> (n+1) subgrupos...
>
De fato, se A e B sao dois tais subgrupos, entao como:
|AB| = |A||B|/|A inter B| = n^2, acho que dah pra deduzir que G = AB, para
quaisquer dois subgrupos distintos A e B (dentre os n+1 mencionados no
enunciado).

> Se mostrarmos que cada um destes subgrupos é abeliano, o problema esta
> resolvido.. Infelizmente    nao estou tendo nenhuma ideia.
>
Somos dois.

> Talvez nao 
> exista nenhum novo subgrupo de G estritamente contido    em algum destes
> subgrupos. Daí eles seríam cíclicos.... O que vc acha ?
>
Nao necesariamente. Se n for composto, entao pelo teorema de Cauchy, para
cada primo p que divide n, cada um dos subgrupos terah um subgrupo de ordem
p.
 
Quem me passou o problema disse que ele tem uma solucao engenhosa...

Um abraco,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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