[obm-l] Re: [obm-l] Área da "Lua"

["Giselle" <gisellemnr@xxxxxxxxx>]

Como vc chegou a conclusão de que PB=2a?

----- Original Message ----- 
From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, October 25, 2003 11:21 AM
Subject: Re: [obm-l] Área da "Lua"


> on 25.10.03 04:01, Douglas Ribeiro Silva at douglasrsilva1985@yahoo.com.br
> wrote:
>
> > Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução
> > sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas
> > lá vai...
> >
> > Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma
> > circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com
> > centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos.
> > Qual a área dessa figura em forma de "Lua"?
> >
> > Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse
> > problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra
> > por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos.
> >
> > Abraços, Douglas.
> >
> Caro Douglas:
>
> Aqui vao apenas algumas dicas, pois as contas sao um pouco chatinhas.
>
> Por geometria plana, chame de O o centro do quadrado e de P e Q os pontos
de
> interseccao da circunferencia com o arco (P proximo de A e Q proximo de
C).
> Seja 2a o comprimento do lado do quadrado.
>
> Entao, OP = a, PB = 2a, OB = a*raiz(2). Com isso voce resolve os
triangulos
> OBP e OBQ (que sao iguais), descobre os angulos PBQ e POQ e determina as
> areas dos setores circulares POQ e PBQ. A area da sua lua sai por
> soma/diferenca de areas entre estes setores e os triangulos
correspondentes.
>
> *****
>
> Por integral, coloque a origem das coordenadas em B, de modo que os demais
> vertices tenham por coordenadas:
> A = (-a*raiz(2),a*raiz(2)); C = (a*raiz(2),a*raiz(2)); D = (0,2a*raiz(2))
>
> O arco centrado em B tem equacao:
> y1 = raiz(4a^2 - x^2)
> O arco relevante da circunferencia inscrita eh:
> y2 = a*raiz(2) + raiz(2a^2 - x^2)
>
> Agora voce acha as abscissas dos dois pontos de interseccao (-b e b,
> digamos) e calcula a area da lua, dada por INTEGRAL(-b..b) (y2 - y1)*dx.
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
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