Re: [obm-l] Área da "Lua"

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 25.10.03 04:01, Douglas Ribeiro Silva at douglasrsilva1985@yahoo.com.br
wrote:

> Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução
> sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas
> lá vai...
> 
> Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma
> circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com
> centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos.
> Qual a área dessa figura em forma de "Lua"?
> 
> Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse
> problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra
> por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos.
> 
> Abraços, Douglas.
> 
Caro Douglas:

Aqui vao apenas algumas dicas, pois as contas sao um pouco chatinhas.

Por geometria plana, chame de O o centro do quadrado e de P e Q os pontos de
interseccao da circunferencia com o arco (P proximo de A e Q proximo de C).
Seja 2a o comprimento do lado do quadrado.

Entao, OP = a, PB = 2a, OB = a*raiz(2). Com isso voce resolve os triangulos
OBP e OBQ (que sao iguais), descobre os angulos PBQ e POQ e determina as
areas dos setores circulares POQ e PBQ. A area da sua lua sai por
soma/diferenca de areas entre estes setores e os triangulos correspondentes.

*****

Por integral, coloque a origem das coordenadas em B, de modo que os demais
vertices tenham por coordenadas:
A = (-a*raiz(2),a*raiz(2)); C = (a*raiz(2),a*raiz(2)); D = (0,2a*raiz(2))

O arco centrado em B tem equacao:
y1 = raiz(4a^2 - x^2)
O arco relevante da circunferencia inscrita eh:
y2 = a*raiz(2) + raiz(2a^2 - x^2)

Agora voce acha as abscissas dos dois pontos de interseccao (-b e b,
digamos) e calcula a area da lua, dada por INTEGRAL(-b..b) (y2 - y1)*dx.

Um abraco,
Claudio.

 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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