Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área da "Lua"

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

BP = BA = raio do arco centrado em B = lado do quadrado
 
on 25.10.03 12:09, Giselle at gisellemnr@ig.com.br wrote:

> Como vc chegou a conclusão de que PB=2a?
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Saturday, October 25, 2003 11:21 AM
> Subject: Re: [obm-l] Área da "Lua"
> 
> 
>> on 25.10.03 04:01, Douglas Ribeiro Silva at douglasrsilva1985@yahoo.com.br
>> wrote:
>> 
>>> Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução
>>> sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas
>>> lá vai...
>>> 
>>> Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma
>>> circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com
>>> centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos.
>>> Qual a área dessa figura em forma de "Lua"?
>>> 
>>> Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse
>>> problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra
>>> por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos.
>>> 
>>> Abraços, Douglas.
>>> 
>> Caro Douglas:
>> 
>> Aqui vao apenas algumas dicas, pois as contas sao um pouco chatinhas.
>> 
>> Por geometria plana, chame de O o centro do quadrado e de P e Q os pontos
> de
>> interseccao da circunferencia com o arco (P proximo de A e Q proximo de
> C).
>> Seja 2a o comprimento do lado do quadrado.
>> 
>> Entao, OP = a, PB = 2a, OB = a*raiz(2). Com isso voce resolve os
> triangulos
>> OBP e OBQ (que sao iguais), descobre os angulos PBQ e POQ e determina as
>> areas dos setores circulares POQ e PBQ. A area da sua lua sai por
>> soma/diferenca de areas entre estes setores e os triangulos
> correspondentes.
>> 
>> *****
>> 
>> Por integral, coloque a origem das coordenadas em B, de modo que os demais
>> vertices tenham por coordenadas:
>> A = (-a*raiz(2),a*raiz(2)); C = (a*raiz(2),a*raiz(2)); D = (0,2a*raiz(2))
>> 
>> O arco centrado em B tem equacao:
>> y1 = raiz(4a^2 - x^2)
>> O arco relevante da circunferencia inscrita eh:
>> y2 = a*raiz(2) + raiz(2a^2 - x^2)
>> 
>> Agora voce acha as abscissas dos dois pontos de interseccao (-b e b,
>> digamos) e calcula a area da lua, dada por INTEGRAL(-b..b) (y2 - y1)*dx.
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
>> 
>> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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