Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Carlos e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Vou contribuir um pouquinho ...

G) Sendo "e" a identidade, de  Y^2= e para todo Y em G concluimos que Y^-1 = 
Y ( Voce saberia dizer porque posso fazer esta afirmacao ? ). Sejam "a" e 
"b" dois elementos quaisquer do Grupo. Entao ab e (ab)^-1 estao em G e, pelo 
que vimos :

ab=(ab)-1 => ab=(b^-1)(a^-1)  mas b^-1=b e a^-1 = a. Segue que :
ab=ba, para quaisquer "a" e "b" em G. O grupo e portanto abeliano.

Observe que este resultado tem uma consequencia imediata, qual seja : "Todo 
Grupo de ordem menor ou igual a 5 e ciclico". Prove isso !

Dois outros problemas elementares sobre Grupos :

1) Seja G um grupo e G' o subgrupo dos comutadores. Prove que o quociente 
G/G' e abeliano.

2) Seja G um grupo de ordem p^n, p primo e n >=3. Mostre que se o centro de 
G tem ordem p entao existe uma classe de conjugacao de ordem p.

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
2,1012,201003

>From: Carlos Maçaranduba <soh_lamento@yahoo.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
>Date: Sun, 19 Oct 2003 20:32:19 -0300 (ART)
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>19 Oct 2003 20:32:19 ART
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>Message-ID: <20031019233219.28743.qmail@web21109.mail.yahoo.com>
>In-Reply-To: <20031018150213.A2552@sucuri.mat.puc-rio.br>
>Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
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>
>Eu consegui provar a letra a o resto nao....) ai vão:
>
>
>Seja Z conjunto dos inteiros e <x> o subgrupo gerado
>por x e Zm um grupo qualquer mod m. Mostre que a,b e m
>inteiros( m>= 2):
>
>a)sendo B = b (mod m) e A = a (mod m) se a divide b
>entao, como subgrupos de Zm,
><B> esta contido em <A>.(Esse eu consegui provar o
>resto nao....)
>
>b)sendo A = a (mod m) se mdc(a,m) = 1 , entao <A> =
>Zm.
>
>c)sendo A = a (mod m) e D = d (mod m) se mdc(a,m) = d
>, entao <A> = <D>.
>
>d) De posse das informacoes acima, determine todos os
>subgrupos de (Z36 , +).
>
>e)Mostre  que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
>ordem 2 entao G é ciclico.
>
>f)Mostre  que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
>ordem 3 entao G é ciclico.(Sugestao: Sendo G =
>{x,a,b}, x o elemento neutrode G, pense sobre o que
>poderia ser o elemento ab)
>
>g)Mostre  que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
>elemento neutro x , mostre que se y^2 =x, para cada y
>em G, entao G é abeliano.(Sugestao:Note que y^2 = x
>implica que y^-1 = x .Tome 2 elementos quaisquer a e b
>em G e comece escrevendo ab = (ab)^-1 = ...)
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