Re: [obm-l] soma antiga

["gabriel" <gabriel@xxxxxxxxxxxxxx>]

Ola Luís,
 caiu na segunda fase do nivel 3 uma soma muito parecida com
esta(praticamente iidentica).A unica diferença é q no numerador ao inves de
ser 2^i é 2^(i+1).
Atenciosamente ,
Gabriel Guedes

----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, January 03, 1904 9:01 AM
Subject: Re: [obm-l] soma antiga


> on 17.10.03 15:29, Luis Lopes at llopes@ensrbr.com.br wrote:
>
> > Sauda,c~oes,
> >
> > Hah algum tempo apareceu na lista a soma
> > S_n = \sum f_i  para i=1,2,...n
> >
> > onde f_i = 2^i / (1 + 3^{2^i} ).
> >
> > Assim, S_1 = f_1 = 2 / (1 + 3^2) = 1/5.
> >
> > Somente agora pude pensar no problema
> > e encontrei
> >
> > S_n = 1/4  +  2^{n+1} / (1 - 3^{2^{n+1}} ).
> >
> > Alguem se lembra deste problema e sua
> > resposta?
> >
> > []'s
> > Luís
> >
> >
> Oi, Luis:
>
> Antes de mais nada, bem vindo de volta a lista num momento em que esta
> parece estar sofrendo um ataque de algum proto-hacker pouco imaginativo.
> Dado o titulo das mensagens mais recentes, talvez estejamos testemunhando
a
> vinganca absolutamente sem-graca de algum daqueles imbecis que o Nicolau
> expulsou da lista (muito justamente, diga-se de passagem).
>
> Sobre a sua soma, acho que a chave eh observar que:
> 2^k/(1 + 3^(2^k)) + 2^k/(1 - 3^(2^k)) = 2^(k+1)/(1 - 3^(2^(k+1)))
>
> Usando essa identidade, voce obtem uma "avalanche simplificadora" parecida
> com aquela do produto cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a)....:
>
> -1/4 + S_n =
> 2/(1 - 3^2) + S_n =
> 2/(1 - 3^2) + 2/(1 + 3^2) + 2^2/(1 + 3^(2^2)) + ... + 2^n/(1 + 3^(2^n)) =
> 2^2/(1 - 3^(2^2)) + 2^2/(1 + 3^(2^2)) + ... + 2^n/(1 + 3^(2^n)) =
> 2^3/(1 - 3^(2^3)) + 2^3/(1 + 3^(2^3)) + ... + 2^n/(1 + 3^(2^n)) =
> ...
> 2^n/(1 - 3^(2^n)) + 2^n/(1 + 3^(2^n)) =
> 2^(n+1)/(1 - 3^(2^(n+1))) ==>
>
> S_n = 1/4 + 2^(n+1)/(1 - 3^(2^(n+1)))
>
> *****
>
> Alias, o 3 eh incidental, pois vale a identidade mais geral:
> 2^k/(1 + a^(2^k)) + 2^k/(1 - a^(2^k)) = 2^(k+1)/(1 - a^(2^(k+1)))
> para todo a <> 1 e -1.
>
> Assim, se f_k = 2^k/(1 + a^(2^k)), entao o S_n correspondente serah igual
a:
> S_n = 2/(a^2 - 1) + 2^(n+1)/(1 - a^(2^(n+1)))
>
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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