Re: [obm-l] soma antiga

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 17.10.03 15:29, Luis Lopes at llopes@ensrbr.com.br wrote:

> Sauda,c~oes,
> 
> Hah algum tempo apareceu na lista a soma
> S_n = \sum f_i  para i=1,2,...n
> 
> onde f_i = 2^i / (1 + 3^{2^i} ).
> 
> Assim, S_1 = f_1 = 2 / (1 + 3^2) = 1/5.
> 
> Somente agora pude pensar no problema
> e encontrei
> 
> S_n = 1/4  +  2^{n+1} / (1 - 3^{2^{n+1}} ).
> 
> Alguem se lembra deste problema e sua
> resposta?
> 
> []'s
> Luís
> 
> 
Oi, Luis:

Antes de mais nada, bem vindo de volta a lista num momento em que esta
parece estar sofrendo um ataque de algum proto-hacker pouco imaginativo.
Dado o titulo das mensagens mais recentes, talvez estejamos testemunhando a
vinganca absolutamente sem-graca de algum daqueles imbecis que o Nicolau
expulsou da lista (muito justamente, diga-se de passagem).

Sobre a sua soma, acho que a chave eh observar que:
2^k/(1 + 3^(2^k)) + 2^k/(1 - 3^(2^k)) = 2^(k+1)/(1 - 3^(2^(k+1)))

Usando essa identidade, voce obtem uma "avalanche simplificadora" parecida
com aquela do produto cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a)....:

-1/4 + S_n =
2/(1 - 3^2) + S_n =
2/(1 - 3^2) + 2/(1 + 3^2) + 2^2/(1 + 3^(2^2)) + ... + 2^n/(1 + 3^(2^n)) =
2^2/(1 - 3^(2^2)) + 2^2/(1 + 3^(2^2)) + ... + 2^n/(1 + 3^(2^n)) =
2^3/(1 - 3^(2^3)) + 2^3/(1 + 3^(2^3)) + ... + 2^n/(1 + 3^(2^n)) =
...
2^n/(1 - 3^(2^n)) + 2^n/(1 + 3^(2^n)) =
2^(n+1)/(1 - 3^(2^(n+1))) ==>

S_n = 1/4 + 2^(n+1)/(1 - 3^(2^(n+1)))
  
*****

Alias, o 3 eh incidental, pois vale a identidade mais geral:
2^k/(1 + a^(2^k)) + 2^k/(1 - a^(2^k)) = 2^(k+1)/(1 - a^(2^(k+1)))
para todo a <> 1 e -1.

Assim, se f_k = 2^k/(1 + a^(2^k)), entao o S_n correspondente serah igual a:
S_n = 2/(a^2 - 1) + 2^(n+1)/(1 - a^(2^(n+1)))


Um abraco,
Claudio.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================