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I) Sabendo que sen(2A), sen(2B) e sen(2C) estão em P.A., nessa ordem, demonstrar que tan(B+C), tan(C+A) e tan(A+B) também estão em P.A. nessa ordem.
Resolucao:
Seja (sin(2A),sin(2B),sin(2C)) uma P.A de razao r, r<>0, portanto, podemos escrever
Sin(2B) - sin(2A) = r = 2cos(A+B).sin(B-A) (1) Sin(2C) - sin(2B) = r = 2cos(C+B).sin(C-B) (2) Sin(2C) - sin(2A) = 2r = 2cos(C+A).sin(C-A) (3)
Vamos calcular as diferentas tan(A+B)-tan(C+A), tan(C+A)-tan(B+C) e tan(A+B)-tan(B+C) e ver o que elas representam:
*) tan(C+A)-tan(B+C) = (sin(C+A)/cos(C+A)) – (sin(B+C)/cos(B+C)) . Isolando cos(C+A) em (3) e cos(B+C) em (2) obtemos,
= sin(C+A).sin(C-A)/r – (2.sin(B+C).sin(B-C))/r , use o fato de cos(p)-cos(q)=-2.sin((p+q)/2).sin((p-q)/2), logo, simplificando chegamos ao resultado,
= (cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))/2r = K.
*) tan(A+B)-tan(C+A) = (sin(A+B)/cos(A+B))-(sin(C+A)/cos(C+A)). Isolando as expressoes de cos(A+B) e cos(A+C) em 1 e 3, respectivamente, obtemos,
= (2.sin(A+B).sin(B-A))/r – (sin(C+A).sin(C-A))/r. Usando a formula de cos(p)-cos(q) do item (*) temos
= (cos(2A)-cos(2B))/r – (cos(2A)-cos(2C))/2r
= (cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))/2r = K.
Analogamente, calcule agora tan(A+B)-tan(B+C) e voce vai ver que encontrara
tan(A+B)-tan(B+C) = 2K.
Logo, tan(B+C),tan(C+A) e tan(A+B) estao em PA de razao K=[cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))]/2r , com r<>0.
Leandro L. Recova
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