Re:[obm-l] Trigonometria III (Mr. Crowley)

["Eder" <edalbuquerque@xxxxxxxxxx>]

Fala Mr. Crowley...

Sem querer ser grosso,apenas por curiosidade...Você pelo 
menos tentar resolver essas questões que você manda pra lista?
Cara,se você não tentar fazer sozinho,não vai aprender 
nunca,não adianta ficar só lendo resoluções.

Tô meio que com preguiça de escrever,então só vou te dizer 
pra lembrar que se sen(2A), sen(2B) e sen(2C) estão em 
PA,então sen(2b)=[sen(2A)+sen(2C]/2.De posse desse 
fato,suponha que tan(B+C), tan(C+A) e  tan(A+B) também estão 
em P.A.,nessa ordem, ou seja, o termo intermediário é média 
aritmética dos termos extremos,desenvolva a expressão e 
preste atenção no que vc vai chegar!

Para o outro,eu peguei uma resolução de alguém,por ter achado 
muito interessante.Juro que tentei pra caramba e não 
saiu.Olha só:


Como isso é um triangulo, entao A+B<180 graus.

multiplicando a igualdade por  8cos(A/2).cos(B/2) (que
é diferente de zero
pois A,B < 180 graus) temos :

sen(A/2) . [cos(B/2)]^3 = sen(B/2) . [cos(A/2)]^3
<=>
2.sen(A/2) .4. [cos(B/2)]^4. cos(A/2) = 2.sen(B/2) .
4.[cos(A/2)]^4
..cos(B/2)
<=>

lembrando que cos(2x)=cos²(x)-sen²(x)=2cos²(x)-1 =>
cos(2x)=2cos²(x)-1 =>
2cos²(x)=cos(2x)+1, fazendo x=B/2 temos: 2cos²(B/2)=cos(B)+1
substituindo para A e B  temos..

2.sen(A/2).cos(A/2).(cos(B)+1)²=2.sen(B/2).cos(B/2).(cos(A)+1)
²
<=>

como sen(2x)=2sen(x)cos(x) , fazendo x=A/2 temos : sen(A)=2sen
(A/2).cos(A/2)

substituindo temos:

sen(A).(cos(B)+1)²=sen(B).(cos(A)+1)²
<=>
sen(A).cos²(B)+2.sen(A).cos(B)+sen(A) =
sen(B).cos²(A)+2.sen(B).cos(A)+sen(B)
<=>
sen(A).cos²(B) - sen(B).cos²(A)+2(sen(A).cos(B)-sen(B).cos(A))
+sen(A)-sen(B)
= 0
<=>

como sen(A-B)=sen(A)cos(B)-sen(B).cos(A) entao:

sen(A).cos²(B) - sen(B).cos²(A)+2sen(A-B)+sen(A)-sen(B)
= 0
<=>

como cos²(x)=1-sen²(x) entao

2sen(A-B)+sen(A).(1-sen²(A))-sen(B).(1-sen²(B))+sen(A)-sen(B)
=0
<=>
2sen(A-B)+2sen(A)-2sen(B)-(sen³(A)-sen³(B))=0
<=> (*) explicação deste passo no final.
2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-3sen(A).sen(B)+2-(sen(A)-sen(B))²)
= 0
<=>
2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-3sen(A)sen(B)+2-(sen²(A)-2sen(A)sen
(B)+sen²(B)))
= 0
<=>
2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-3sen(A)sen(B)+2+2sen(A)sen(B)-1)
= 0
<=>
2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-sen(A)sen(B)+1) = 0

suponha 0<B<A<180

entao..

2sen(A-B)>0

(sen(A)-sen(B))>0
é fácil ver que isso é verdade para A<=90
se A=90+e, e>0 e sen(B)>=sen(A) então B=90-d,
0<d<=e, daí A+B=180+e-d >=180,
o que é absurdo..

como sen(A)sen(B)<=1 entao -sen(A)sen(B)+1>=0

logo, a soma

2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-sen(A)sen(B)+1)

nunca pode ser zero, o que é absurdo .. pois com implicações
de <=> a partir
da hipótese chegamos que esta soma deve ser zero..
entao a hipótese de que A>B é falsa.. pela simetria
do problema.. B>A também
é falsa... então só pode ser A=B.

explicação do passo (*)

vou mostrar que 2x-2y - (x³-y³) = (x-y)(-3xy+2-(x-y)²)

sabemos que (x-y)³=x³+3xy²-3x²y-y³ = x³-y³-3xy(x-y)
=> (x³-y³) =
(x-y)³+3xy(x-y) = (x-y)((x-y)²+3xy)

logo, 2(x-y) - (x³-y³) = (x-y)(2-(x-y)²-3xy) o que demonstra
a igualdade.



Falow's

Eder









> Olá Pessoal,
> 
> Valew galera pelas ajudas! (Cláudio, Leandro, João, 
> Bruno e Ralph)
> 
> 
> Espero que possam me ajudar nestes dois também (que me 
> parece ser mais dificeis):
> 
> I) Sabendo que 
> P.A., nessa ordem, demonstrar que tan(B+C), tan(C+A) e 
> tan(A+B) também estão em P.A. nessa ordem. 
> 
> 
> II) Demonstrar que é isósceles o triângulo ABC cujos 
> ângulos A e B verificam a equação 
> 
> sen(A/2) . [cos(B/2)]^3 = sen(B/2) . [cos(A/2)]^3 
> 
> 
> 
> Gostaria de aproveitar o espaço para perguntar se 
> alguém conhece algum site que tenha as resoluções das 
> provas do IME.
> 
> É isso aí...
> 
> Grato
> 
> Mr. Crowley
> 
>    ("`-''-/").___..--''"`-._       
>     `6_ 6  )   `-.  (    ).`-.__.`)
>     (_Y_.)'  ._   )  `._ `.``-..-' 
>   _..`--'_..-_/  /--'_.' ,'       
>  (il),-''  (li),'  ((!.-'
>  
> ____________________________________________________________
______________
> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
> AntiPop-up UOL - É grátis!
> http://antipopup.uol.com.br/
> 
> 
> ============================================================
=============
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a list
a em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> ============================================================
=============
> 

 
---
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis! 
http://antipopup.uol.com.br

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================