Re: [obm-l] Esferas e Tetraedros

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 02.10.03 01:00, Alexandre Daibert at alexandredaibert2@ig.com.br wrote:

> Pra falar a verdade o q eu queria saber mesmo eh o porque do (A + B + C
> + D)/4
> É o baricentro? desculpe minha ignorância em geometria espacial, eh a
> parte q eu menos sei na matemática (acho q deu pra perceber) mas o
> baricentro do tetraedro regular eh igual a 1/4 da altura? Como provar
> isso (de preferência fora da analítica)?
> 
A definicao geral de baricentro em R^3 usa integrais triplas. O baricentro M
de um solido S em R^3 cujo volume eh bem definido (isso eh um ponto mais
tecnico sobre teoria da medida, mas para um tetraedro ou qualquer outro
solido da geometria classica essa condicao eh sempre obedecida) eh o ponto
do R^3 de coordenadas (x_M,y_M,z_M) tais que:

x_M = Integral(sobre S) x*dxdydx / Volume(S)
y_M = Integral(sobre S) y*dxdydx / Volume(S)
z_M = Integral(sobre S) z*dxdydx / Volume(S)

Um bom exercicio de integracao eh provar que, para um tetraedro regular de
vertices A, B, C e D, o baricentro eh justamente o ponto M=(A+B+C+D)/4

****
 
No caso do problema das esferas associadas ao tetraedro voce estah
interessado apenas em provar que existe um unico ponto que eh equidistante
dos vertices, das faces e das arestas. Esse ponto eh justamente o
baricentro, mas isso eh irrelevante para o problema.

O que voce quer antes de mais nada eh provar que existe um ponto M que eh
equidistante dos vertices.

Suponha que a aresta do tetraedro regular ABCD mede a.

Seja P o centro da base ABC, a qual eh um triangulo equilatero. Naturalmente
PA = a*raiz(3)/3 (isso eh geometria plana, que eu estou supondo sabida).

Alem disso, o lugar geometrico dos pontos que equidistam de A, B e C eh uma
reta perpendicular a ABC e passando pelo seu centro P. Como DA = DB = DC =
a, D pertence a essa reta ==> PD eh perpendicular ao plano ABC

Assim, usando Pitagoras, PD = raiz(AD^2 - PA^2) = raiz(a^2 - a^2/3) =
a*raiz(6)/3 = altura do tetraedro.

Agora, soh precisamos escolher o ponto M de PD tal que MA = MD (= x).

MA^2 = PM^2 + PA^2 e PM = PD - MD ==>
MA^2 = (PD - MD)^2 + PA^2 ==>
x^2 = (a*raiz(6)/3 - x)^2 + a^2/3 ==>
(2*a*raiz(6)/3)*x = 2*a^2/3 + a^2/3 = a^2 ==>
x = MD = 3a/(2*raiz(6)) = a*raiz(6)/4 = (3/4)*PD ==>
PM = (1/4)*PD = (1/4)*altura.

O ponto M poderia nao existir, o que faria com que a equacao acima na
incognita x nao tivesse solucao. No entanto, como a equacao tem solucao,
concluimos que M existe (e de fato eh unico, pois a equacao tem uma unica
solucao - lembre-se: M estah na semi-reta de origem em P e que contem D)

Repare que isso prova que M eh equidistante das faces (por que?). Alem
disso, com mais uma aplicacao de Pitagoras, voce prova que M eh equidistante
das arestas.

Alem disso, se voce introduzir coordenadas, voce vai ver que M =
(A+B+C+D)/4.

Um abraco,
Claudio.

> Claudio Buffara escreveu:
> 
>> on 01.10.03 03:46, Alexandre Daibert at alexandredaibert2@ig.com.br wrote:
>> 
>> 
>> 
>>> Gostaria de ajuda para a resolução de esferas inscritas e circunscritas
>>> a um tetraedro regular  de lado conhecido (calcular o raio)
>>> 
>>> Alexandre Daibert
>>> 
>>> 
>>> 
>> Tem tambem a esfera tangente as arestas...
>> 
>> Sugestao: de coordenadas para cada um dos vertices (pondo 3 no plano x,y de
>> preferencia) - por exemplo:
>> A = (0,0,0), B = (a,0,0), C = (a/2,a*raiz(3)/2,0).
>> 
>> O vertice D serah um dos dois pontos equidistantes desses 3 (um tem
>> coordenada z positiva e o outro negativa). Facilita se voce perceber que a
>> projecao dele sobre o plano x,y eh justamente o centro H = (A+B+C)/3 do
>> triangulo equilatero ABC, ou seja, D = (a/2,a*raiz(3)/6,z) para algum z.
>> Agora eh soh usar o fato de que |AD| = a.
>> 
>> O centro das esferas eh o ponto O = (A+B+C+D)/4 (por que?)
>> 
>> Agora fica facil:
>> R(inscrita) = |OH|
>> R(circunscrita) = |OA|
>> R(tangente as arestas) = |OM|, onde M = ponto medio de AB = (A+B)/2.
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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