Re: [obm-l] Trigonometria II (Mr. Crowley)

[Bruno Simões <bessel_fourier@xxxxxxxxxxxx>]

Essa eh boazinha...

O D pode ser escrito como funcao de A, B e C e com
isso desaparece do lado direito da identidade.
Lembrem-se que sen(x) eh funcao impar de x e cos(x) eh
funcao par. Entao podemos escrever...

A+B+C+D=2*pi (1)

sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2] (2)

Mas de (1), C+D=2*pi-(A+B), e sen(pi-a)=sen(a), entao
(2) fica...

2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[pi-(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2] * {cos[(A-B)/2] + cos[(C-D)/2]}=
2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
cos[(A-B-C+D)/4]} (3)

De (1), podemos escrever A+C-(B+D) = (A+C) -
(2*pi-A-C) = 2*pi - 2*(C+A) e tambem (A+D)-(B+C) =
2*pi-(B+C)-(B+C) = 2*pi-2*(B+C)
Lembrando que cos(pi/2 - a) = sen(a), (3) fica...

2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
cos[(A-B-C+D)/4]}=
2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[pi/2-(C+A)/2] *
cos[pi/2-(B+C)/2]}=
4*sen[(A+B)/2] * sen[(C+A)/2] * sen[(B+C)/2]



 --- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
escreveu: > on 01.10.03 01:49, paraisodovestibulando
at
> paraisodovestibulando@bol.com.br
> wrote:
> 
> > Olá Pessoal,
> > 
> > Aqui vai mais um de trigonometria que naum esta
> saindo:
> > 
> > 
> > Sabendo que A + B + C + D = 2.pi, provar que:
> > 
> > sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=4.sen((A+B)/2).sen
> > ((B+C)/2).sen((C+A)/2)
> > 
> > 
> > Grato
> > 
> > Mr. Crowley
> > 
> Tah certo isso? Onde entra o D do lado direito?
> 
> 
>
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> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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