Re: [obm-l] Questões IME (ultra-foda!)

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 01.10.03 03:42, Alexandre Daibert at alexandredaibert2@ig.com.br wrote:

> Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for
> incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de
> vestibulares do IME:
> 
> (IME 96)
> Dados os trinômios de segundo grau:
> y = ax^2 + bx + c    (I)
> y = a´x^2 + b´x + c´   (II)
> Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do
> trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II).
> Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´,
> b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente.
> 
> obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser
> iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em
> 3 harmonicamente?
> 
O segmento A'B' divide o segmento AB harmonicamente se:
AA'/BA' = -AB'/BB' (segmentos orientados, ou seja, AA' = A' - A, etc...)

Assim, por exemplo, no eixo x, se:
A = 0, B = 1 e A' = x (0 < x < 1) e B' = y,
entao:
x/(x-1) = -y/(y-1) ==> y = x/(2x-1)

Repare que:
0 < x < 1/2 ==> -infinito < y < 0
1/2 < x < 1 ==> 1 < y < + infinito
lim(x->1/2-) y = -infinito   e   lim(x->1/2+) y = +infinito.

*****

Sejam A e B as raizes de (I) e A' e B' as de (II):

Divisao harmonica ==>
AA'/BA' = -AB'/BB' ==>
(A'-A)/(A'-B) = -(B'-A)/(B'-B) ==>
(A'-A)*(B'-B) = (B'-A)*(B-A') ==>
A'B' + AB - AB' - A'B = BB' + AA' - AB - A'B' ==>
2A'B' + 2AB = BB' + AA' + AB' + A'B ==>
2(A'B' + AB) = (A+B)(A'+B') ==>
2(c'/a' + c/a) = (-b/a)(-b'/a') ==>
2(ac' + a'c) = bb'


Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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