RE: [obm-l] CN

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Sejam x, y e z o numero de  petecas, bolas e bonecas compradas. De
acordo com o enunciado, Marta gastou x + 10 y + 20z = 220 reais e
adquiriu um total de x+y+z = 102 unidades. Precisamos assim reolver o
seguinte sistema de equacoes lineares:
x + 10y + 20z = 220
x +   y +   z = 102

considerando que, para que a solucao faca sentido, os valores de x, y e
z tem que ser inteiros nao negativos.
O sistema tem mais incognitas do que equacoes e, como suas 2 equacoes
sao linearmente independentes, ele apresenta uma infinidade de solucoes
reais. Vamos agora verificar se, ao incluirmos a restricao de que x, y e
z sao inteiros nao negativos, o sistema se torna determinado (ou
impossivel).

Subtraindo-se a 2a equacao da primeira, obtemos 9y +19z = 118 e,
portanto, y = (118-19z)/9. Além disto, temos x= 102 - y -z . Para que as
restricoes sejam atendidas, devemos ter 118-19z>=0 e, como z eh inteiro,
z<= Piso(118/9)=6. Logo, 0<=z<=6. Adicionalmente, precisamos ter 118=19z
Mod (9), isto eh, (118-19z)/9 tem que ser inteiro.  Como 19 eh primo,
esta congruencia tem solucao. No conjunto 0<=z<=6 a unica solucao eh z
=1, o que nos  leva a y =11 e a x = 90. Marta, portanto, comprou 90
petecas, 11 bolas e 1 boneca. Nao hah outra possibilidade. 
Artur

> Marta comprou petecas, bolas e boneca, pagando por
> cada unidade, respectivamente, 1,00; 10,00; 20,00.
> Gastou 220,00 em um total de 102 unidades desses
> brinquedos. Quantas petecas ela comprou?
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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