| De: |
owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Sun, 28 Sep 2003 10:49:19 -0300 (ART) |
| Assunto: |
Re: [obm-l] Metodo Geral de Racionalizaçao |
> Pessoal esse metodo que Dirichlet "quase" mostrou(nao
> se preocupe Dirichlet, eu entendo sua falta de
> tempo..hehe), eu entendi , mas parece que existe outro
> mais elegante , que usa teorema do isomorfismo entre
> aneis e extensao de corpos conhecido como metodo de
> Cauchy-Kronecker de achar inversos multiplicativos.Eu
> estou tentando entender isso, tentando encaixar todas
> essas ideias mais ainda nao vi a luz.Inclusive a
> sugestao da questao abaixo tem tudo a ver com esse
> metodo.Tentem fazer pela sugestao:
>
> PROBLEMA
> Racionalizar o denominador da fraçao
> (1 - 2^1/3) / (1 + 2^1/3 + 4^1/3), isto é,escrever a
> fraçao dada na forma "a + b*(2^1/3) + c*(4^1/3)" com
> a, b,c pertencente aos racionais.
> (Sugestão: Determinar o polinomio minimo de 2^1/3
> sobre os Racionais e usar o algoritmo de divisao
> euclidiana apropriadamente.)
>
Oi, Macaranduba:
Usando o Axioma no. 1 da resolucao de problemas ("eu sou burro mas nao sou cego") eu "vejo" que se x = 2^(1/3), entao o denominador da fracao eh x^2 + x + 1.
Agora, usando o Axioma no. 2 da resolucao de problemas ("se podemos simplificar, nao devemos complicar"), juntamente com a identidade:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1), com x = 2^(1/3), eu obtenho:
1/(1+2^(1/3)+2^(2/3)) = (2^(1/3) - 1)/(2 - 1) = 2^(1/3) - 1.
Logo, a fracao fica igual a (2^(1/3) - 1)(1 - 2^(1/3)) = -(2^(1/3) - 1)^2 =
(-1)*4^(1/3) + (2)*2^(1/3) + (-1)*1.
*****
Usando a sugestao, o p.m. de x = 2^(1/3) eh p(x) = x^3 - 2.
O denominador da fracao eh q(x) = x^2 + x + 1.
Dividindo p(x) por q(x):
x^3 - 2 = (x - 1)*(x^2 + x + 1) - 1 ==>
(x^3 - 2 + 1)/(x - 1) = (x^2 + x + 1) ==>
1/(x^2 + x + 1) = (x - 1)/(x^3 - 1) = (2^(1/3) - 1)/(2 - 1) = 2^(1/3) - 1.
Se voce reparar, eh exatamente a mesma coisa que eu fiz acima.
*****
Em ambos os casos, a chave para a solucao eh observar que o numero importante eh 2^(1/3), o que nesse caso era mais ou menos obvio.
Por outro lado, o que voce faria para racionalizar 1/((2^(1/2) + 2^(1/3) + 3^(1/3))?
Nesse caso, o metodo do Dirichlet (achar um polinomio p(x) que tenha a = 2^(1/2) + 2^(1/3) + 3^(1/3) como raiz e que seja da forma p(x) = xq(x) + b, para algum b <> 0, de modo que a = -q(a)/b), apesar de um pouco bracal, mata o problema, sem precisar de nenhum dos Axiomas.
Um abraco,
Claudio.