RE: Re:[obm-l] Ref.: Grau de um numero algebrico

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Eu acho que esta demonstracao acaba sendo igual aaquela outra que eu
mencionei. O polinomio do qual a eh raiz eh o polinomio minimo da
transposta da matriz abaixo.
Artur

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Domingos Jr.
Sent: Saturday, September 27, 2003 2:19 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: Re:[obm-l] Ref.: Grau de um numero algebrico

talvez você não tenha percebido, mas o resultado é nas duas direções, ou
seja, se a é um número algébrico, então existe uma matriz A tq a é
autovalor de A.
 
a idéia é assim, se a é algébrico de grau n então podemos expressar a^n
em termos de uma combinação linear de B = {1, a, ..., a^(n-1)}, sendo
assim, considere uma matriz A n x n, sendo que as primeiras linhas são:
0 1 0 0 0 0 ... 0
0 0 1 0 0 0 ... 0
0 0 0 1 0 0 ... 0
 
e a última linha são os coef. da combinação linear de B que resulta em
a^n.
 
agora tome como vetor v = (1, a, ..., a^(n-1))
 
A.v = (a, a², ..., a^(n-1), a^n) = a(1, a, ..., a^(n-1)) = av
ou seja a é autovalor de A e  v é seu autovetor associado.
 
no link que eu mandei tem essa demonstração e a demonstração de que
grau(a+b), grau(ab) <= grau(a).grau(b).
 
[ ]'s
----- Original Message ----- 
From: claudio.buffara 
To: obm-l 
Sent: Saturday, September 27, 2003 1:12 PM
Subject: Re:[obm-l] Ref.: Grau de um numero algebrico

Oi, Artur:
Na verdade, a afirmativa do Dirichlet eh obvia: o polinomio
caracteristico de uma matriz racional (que entendo ser uma matriz
quadrada com elementos racionais) tem coeficientes racionais. Assim,
suas raizes (os autovalores da matriz) sao, por definicao, numeros
algebricos.
Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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