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talvez você não tenha percebido, mas o resultado é
nas duas direções, ou seja, se a é um número algébrico, então existe uma matriz
A tq a é autovalor de A.
a idéia é assim, se a é algébrico de grau n então
podemos expressar a^n em termos de uma combinação linear de B = {1, a, ...,
a^(n-1)}, sendo assim, considere uma matriz A n x n, sendo que as primeiras
linhas são:
0 1 0 0 0 0 ... 0
0 0 1 0 0 0 ... 0
0 0 0 1 0 0 ... 0
e a última linha são os coef. da combinação linear
de B que resulta em a^n.
agora tome como vetor v = (1, a, ...,
a^(n-1))
A.v = (a, a², ..., a^(n-1), a^n) = a(1, a, ...,
a^(n-1)) = av
ou seja a é autovalor de A e v é seu
autovetor associado.
no link que eu mandei tem essa demonstração e a
demonstração de que grau(a+b), grau(ab) <= grau(a).grau(b).
[ ]'s
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