Oi, Artur:
Na verdade, a afirmativa do Dirichlet eh obvia: o polinomio caracteristico de uma matriz racional (que entendo ser uma matriz quadrada com elementos racionais) tem coeficientes racionais. Assim, suas raizes (os autovalores da matriz) sao, por definicao, numeros algebricos.
Um abraco,
Claudio.
| De: | owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br |
| Para: | "OBM" |
| Cópia: |
| Data: | Sat, 27 Sep 2003 12:24:48 -0300 |
| Assunto: | [obm-l] Ref.: Grau de um numero algebrico |
O Dirichilet sugeriu que uma forma de chegarmos aas conclusoes que o Claudio deseja eh prova que un mumero eh algebrico se, e e somente se, for autovetor de alguma matriz racional. Eu me lembro de que na teoria de matrizes existe um conceito denominado de "companion matrix to a monic polynomial" (quando eu estudei isto, no milênio passado, foi no livro do Gantmacher, em Inglês, e nao tive mais chance de trabalhar com isto), algo como matriz companheira de um polinômio mônico (coeficiente do termo de mais alto grau =1). Esta matriz (quadrada) eh, com excecao da subdiagonal principal (formada pelos elementos imediatamente abaixo da diagonal principal) e da última coluna, composta por zeros. A subdiagonal principal eh composta por 1's e a ultima coluna eh composta pelos simetricos dos coficientes do polinomio. Sabe-se (nao me lembro como se demonstra) que o polinomio em questao eh o polinomio mínimo da matriz companheira, isto eh, eh o polinomio monico de menor grau tal que
P(A) = 0, sendo A a matriz e 0, aqui, a matriz nula. Sabe-se tambem que este polinomio minimo eh o polinomio caracteristico da matriz. Os autovalores de A sao assim as raizes do polinomio minimo.
Bom, se a eh algebrico, entao a eh raiz de um polinomio monico P de coeficientes racionais (basta pegar um polinomio de coeficientes inteiros que admita a como raiz e dividi-lo pelo coeficiente do termo de mais alto grau). Logo, existe uma matriz quadrada M que eh a companheira deste polinomio, que eh portanto o pol. minimo de M. Dado que M eh composta por zeros, 1's e pelos simetricos dos coeficientes do polinomio, segue-se que M eh racional. Alem disto, temos que os autovalores de M sao as raizes de P, do que concluimos que a eh autovalor de M (e de qualquer matriz similar ba M). Isto prova a primeira parte da afirmacao.
Por outro lado, se a eh autovalor de uma matriz racional, entao a eh raiz de seu polinomio caracteristico, cujos coefcientes sao claramente racionais. Logo, a eh algebrico (a definicao de numero algebrico, baseada usualmente em polinomios de coeficientes inteiros, eh claramente equivalente aa obtida permutando-se "inteiro" por "racional").
Mas eu ainda nao vi como disto chegamos a conclusoes sobre graus de numeros algebricos. Resta ainda fazer chegar aas ultimas consequencias... Abracos
Artur