Re: [obm-l] Mais Algebra Linear

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

1 - Se Ker(P) = Im(I - P), prove que o operador linear P: E -> E é uma
projeção (I é a identidade, Im é a imagem e Ker, o núcleo)

para todo x em E, temos
P(1 - P)x = Py, com y em Im(I-P), mas então y é do Ker(P) e sendo assim Py =
0
=> P(1 - P)x = 0
como o resultado vale para TODO x, então P - P² = 0 => P = P² => P é uma
projeção.

2 - Sejam P,Q: E -> E projeções. Prove que as seguintes afirmações são
equivalentes:
a) P + Q é uma projeção
b) PQ + QP = 0
c) PQ = QP = 0
Aqui ele dá como sugestão para mostrar que b => c multiplicar à esquerda, e
depois à direita, por P.

(P+Q)² = P² + Q² + PQ + QP = P + Q + PQ + QP
daí vemos que (c) => (a) e (a) => (b)

o (b) => (c) eu ainda não consegui, quando voltar tento completar...

[ ]'s

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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