Re: [obm-l] Valores de aderencia

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Achei importante completar umas partes da minha própria mensagem:

On Fri, Sep 19, 2003 at 04:21:46PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
> Definimos um arco em S1 da maneira usual (um subconjunto próprio não
> vazio e conexo de S1) e chamamos o comprimento de um arco A de l(A).
> Dada uma seqüência a_n de pontos do círculo unitário complexo S^1
> e um arco A definimos m(A) = lim inf #{k, k < n, a_k in A}/n
> e M(A) = lim sup ....
> Dizemos que a seqüência é uniformemente distribuída se para qualquer
> arco A temos m(A) = M(A) = l(A)/(2*pi).
> 
> Uma caracterização equivalente é a seguinte:
> para todo m inteiro positivo o limite
> lim_n (1/n) * soma_{k < n} a_k^m
> deve existir e ser igual a 0.

A equivalência entre estas duas caracterizações não é óbvia.
O fato crucial é que podemos aproximar a função característica
de um arco por um polinômio de Laurent (ou ainda, que podemos
escrever a série de Fourier para a versão periodizada da função
característica de um intervalo).

> É fácil ver que as seqüências a_n = z^n são uniformemente distribuídas
> se z = exp(2*pi*i*t), t irracional.
> 
> O resultado importante é o seguinte. Para cada k defina uma seqüência
> auxiliar b_n = a_{n+k}/a_n; se para todo k estas seqüências forem
> uniformemente distribuídas então a seq original a_n também é.

Uma boa referência para isso tudo é:

Kuipers, L. and Niederreiter, H.,
Uniform distribution of sequences,
Wiley-Interscience, New York, 1974.

Outra referência para este resultado específico é a tese da Tania Begazo,
minha aluna de doutorado (precisamos do resultado e redemonstramos),
que está aqui:

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/tania.ps

> Usando este teorema e indução é fácil provar por indução que seqs da forma
> a_n = z^{p(n)}, p um polinômio não constante de coeficientes inteiros,
> são uniformemente distribuídas e em particular tem imagem densa em S^1.
> A afirmação com cos(n^2) é caso particular.

Bastando olhar para a parte real.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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