Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Sep 20, 2003 at 08:49:39AM -0700, niski wrote:
> Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela 
> resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
> Bom estou com o seguinte problema
> Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e 
> elevado a a indicie n vezes x)
> onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
> Prove que A é L.I.
> 
> Eu pensei em contruir o Wronskiano e se ele for identicamente nulo então 
> seria L.I certo?

Não está errado; há várias soluções.

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A minha favorita é olhar o comportamento em infinito. 

Desculpe mas vou tirar os [] da sua notação.
Suponha sem perda a1 < a2 < ... < an. Suponha por absurdo que
f(x) = c1 * e^(a1 x) + ... + cn * e^(an x) seja identicamente igual a 0
com pelo menos um dos coeficientes não nulo, sem perda cn.
Assim

lim_{x -> infinito} e^(-an x)*f(x) = cn 

mas por outro lado como f(x) = 0 temos cn = 0.

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Outra solução é por variável complexa.
A função f(z) = c1 * e^(a1 z) + ... + cn * e^(an z)
é inteira (holomorfa em C). Vamos observar a função

g(z) = e^(- ak z) * f(z)
     = ck + somatório_{j diferente de k} cj * e^((aj - ak) z) 

Na reta imaginária (parte real igual a 0) cada um dos termos
do somatório oscila tendo média zero. Assim o valor médio de g(z)
em um grande intervalo nesta reta é ck. Ou seja, se f é identicamente 0
então cada coeficiente é igual a 0, como queríamos provar.

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[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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