Re: [obm-l] Valores de aderencia

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Sep 19, 2003 at 01:08:22PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> >Por exemplo, a_n=n.w mod 1, com w irracional eh equidistribuida, o que
> >quer dizer que ela se espalha uniformemente em [0,1].
> 
> >Se alguem quiser, posso dar as condicoes precisas que a seq. deve
> >satisfazer.
> Eu gostaria.

Eu sei provar que cos(n^2) é denso em [0,1] e tem tudo a ver
com distribuição uniforme.

Definimos um arco em S1 da maneira usual (um subconjunto próprio não
vazio e conexo de S1) e chamamos o comprimento de um arco A de l(A).
Dada uma seqüência a_n de pontos do círculo unitário complexo S^1
e um arco A definimos m(A) = lim inf #{k, k < n, a_k in A}/n
e M(A) = lim sup ....
Dizemos que a seqüência é uniformemente distribuída se para qualquer
arco A temos m(A) = M(A) = l(A)/(2*pi).

Uma caracterização equivalente é a seguinte:
para todo m inteiro positivo o limite
lim_n (1/n) * soma_{k < n} a_k^m
deve existir e ser igual a 0.

É fácil ver que as seqüências a_n = z^n são uniformemente distribuídas
se z = exp(2*pi*i*t), t irracional.

O resultado importante é o seguinte. Para cada k defina uma seqüência
auxiliar b_n = a_{n+k}/a_n; se para todo k estas seqüências forem
uniformemente distribuídas então a seq original a_n também é.

Usando este teorema e indução é fácil provar por indução que seqs da forma
a_n = z^{p(n)}, p um polinômio não constante de coeficientes inteiros,
são uniformemente distribuídas e em particular tem imagem densa em S^1.
A afirmação com cos(n^2) é caso particular.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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