Em termos simples, voce quer achar o valor da soma A + 2.A^2 + 3.A^3 +......+ n.A^n=S.
A soma acima pode ser determinada por meio da soma de sucessivas PG`s de razao A,
vejamos:(A + A^2 +......+ A^n)+(A^2 + A^3 +......+ A^n)+......+(A^n-1 + A^n)+(A^n) é
justamente o valor de S, pois o numero A é somado 1 vez,o numero A^2 2 vezes,....,o
numero A^n n vezes.
Seja a soma a + a.q + ....+ a.q^n = f(n), entao f(n).q = a.q + a.q^2 + .......+ a.q(n+1).Logo a subtraçao f(n).q - f(n) = a.q^(n+1) - a -->f(n).(q-1) = a.q^(n+1) - a --> f(n) =a.(q^(n+1)-1)/(q-1) = a + a.q + ...+a.q^n, assim sendo, o valor de (A + A^2 +......+ A^n)+(A^2 + A^3 +......+ A^n)+......+(A^n-1 + A^n)+(A^n) sera : A.(A^n - 1)/(A-1) + A^2.(A^(n-1) - 1)/(A-1) + ......+A^(n-1).(A^2 -1)/(A-1) + A^n.(A-1)/(A-1) = S.
S= [n.A^(n+1) - (A + A^2 + A^3 +.......+ A^n)]/(A-1)= [n.A^(n+1) - A.(A^n -1)/(A-1)]/(A-1), S= [n.(A-1).A^(n+1) - A^(n+1) -A]/(A-1)^2 = [A^(n+1).(n.A -n -1) - A]/(A-1)^2.
Ufa..., a resposta é entao [A^(n+1).(n.A - n -1) - A]/(A-1)^2 = A + 2.A^2 + 3.A^3 +......+ n.A^n.
Ate mais
</S\> Felipe M.