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A demonstracao destes fato eh
muito interessante: Um espaco topologico eh
compacto se, eh somente se, toda colecao de conjuntos fechados do mesmo que
satisfaca aa propriedade da interseccao finita tiver interseccao nao vazia. Dizemos que uma colecao de
conjuntos apresenta a propriedade da interseccao finita se toda subcolecao
finita da mesma tiver interseccao nao vazia. Em um espaco de Hausdorrf,
colecoes de conjuntos compactos que satsfacam aa propriedade da interseccao
finita apresentam interseccao noa vazia. Este tambem eh interessante:
Seja A = {Aa} uma colecao de conjuntos de um espaco topologico e seja A*a o
fecho de Aa. Entao, temos sempre que Uniao A*a <= (Uniao Aa)* (aqui, <
significa inclusao). Se A for uma colecao finita, entao a reciproca eh
verdadeira e temos portanto, neste caso, que Uniao A*a = (Uniao Aa)* . Se A for
infinita, a igualdade pode ou nao se verificar. E sobre espacos metricos: a
interseccao de qualquer colecao de
conjuntos completos de um espaco metrico eh completa; a uniao de qualquer
colecao finita de conjuntos completos tambem eh completa. Mas a uniiao de
colecoes infinitas de conjuntos completos pode nao ser completa. Artur |