Re: [obm-l] Algebra Linera

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

> Prezado felipe, muito obrigado pela sua atenção.
> creio que na minha primeira pergunta eu não fui claro.

  Sem problemas. Se me permite vou fazer uma tentativa...

> Sendo V um espaço vetorial de dimensão n. Se tomarmos um conjunto X 
> linearmente independente com n vetores desse espaço.
> é possível afirmar que esse conjunto X é uma base do espaço vetorial V ?
> ou seja num espaço vetorial de dimensão n qualquer conjunto de vetores LI 
> com n vetores será uma base desse espaço?

  Seja X o conjunto LI de n vetores(x_i, i=1..n). Como dim(V) = n, sabemos 
que qualquer conjunto com mais de n elementos será LD. Seja v um elemento 
de (V-X) nao nulo e seja Y = X U {v}. Entao Y é LD.

=> Existem a_i, i=1..(n+1) no corpo (o coitado nao ganhou nem um nome) nao 
todos nulos tais que

  soma( a_i*x_i, i=1..n ) + a_(n+1)*v = 0

Suponha a_(n+1) = 0, entao a_i = 0 para 1<=i<=n pois X é LI.
Isto contradiz o fato de nem todos os a_i serem nulos. Logo a_(n+1) != 0.

Entao v = (1/a_(n+1)) * (-soma(a_i*x_i,i=1..n)) = soma( -(a_i/a_(n+1)) * 
x_i, i=1..n ).
Ou seja, v pertence ao conjunto gerado por X. Obviamente qualquer vetor em 
X também pode ser gerado por X. Ah, e o vetor nulo também... Então qualquer 
elemento de V pode ser gerado por X.
Isto, juntamente com o fato de X ser LI significa que X é uma base. Hmmmm, 
será que isto vale também para espaços de dimensão infinita ?

   Espero ter ajudado e nao ter cometido nenhum engano.

   []s
   Felipe

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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