[obm-l] 17ª OBM Senior-Questoes

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Oi turma!!!Estou mandando material de diversao hoje.

Ja tenho que ir, na proxima semana volto discutindo a OBM desse ano.

Mandem suas soluçoes e divirtam-se!

 

17ª Olimpiada Brasileira de Matematica

Primeiro Dia

 

01- Seja ABCD um quadrilatero ao mesmo mtempo inscritivel e circunscritivel.Sejam I seu incentro, O seu circuncentro e S a intersecçao das diagonais.

Mostre que se dois dentre os pontos I, O e S coincidem entao ABCD e um quadrado.

 

02-Determine o número de funções f:N => R tais que para todos os inteiros não negativos x e y valem as condiçoes:

 

i)f(x+1019)=f(x)

ii)f(xy)=f(x)*f(y)

 

03-Seja P(n) o maior primo que divide o natural n, n>1.

Prove que existem infinitos naturais n tais que P(n)<P(n+1)<P(n+2).

 

 

 

17ª Olimpiada Brasileira de Matematica

Segundo Dia

 

04-Um estudante construiu um tetraedro regular de aresta L.Unindo as duas pontas de um pedaço de barbante ele deseja fazer um laço atraves do qual possa passar o tetraedro.Determine o menor comprimento do laço para que isto seja possivel.

 

05-Prove que nenhuma raiz do polinomio

G(x)=x^5-x^4-4*x^3+4*x^2+2

é raiz n-esima de um racional, n>1, n natural.

 

06-Seja X um conjunto de n elementos e F uma familia de subconjuntos trinarios de X tais que quaisquer dois subconjuntos em F tenham no maximo um elemento em comum.Mostre que existe um subconjunto de X com pelo menos [(2n)^1/2] elementos e que nao contem nenhum subconjunto pertencente a F

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