[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Fórmula de Taylor

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Thiago,
Se uma funcao f, real de variavel real, for diferenciavel ateh a ordem n-1
em um intervalo [a,b], se as derivadas ateh a ordem n-1 forem continuas em
[a,b] e se a derivada de ordem n existir em (a,b) (nao precisa ser
continua), entao, para todo x em [a, b] temos que f(x) = f(a) + (x-a) f'(a)
... + (x-a)^(n-1)/(n-1!f_n-1(a) + x^n/n!f_n(c), onde f_i denota a derivada
de ordem i e c e um numero em (a, b). . Observamos assim que f(x) eh dada
pela soma de um polinomio do grau n em x com um numero que tambem depende de
x. Logo f(x) = P(x)+ R(x). O polinomio P e usualmente conhecido por
polinomio de Taylor e R(x) eh conhecido por resto de Lagrange.
Suponhamos agora que para todo n, f_n exista em [a,b]. Para um dado x em
[a,b], observamos que o numero c passa ser uma funcao de n de modo que
podemos escrever f(x) = P_n(x) + R(n), sendo P_n um polinomio do grau n.
Temos assim no segundo membro uma sequencia constante e em que todos os
termos igualam-se a  f(x). Se R(n) ->0, entao f(x) pode ser dada por um
"polinomio de grau infinito". Mais precisamente, por uma serie de potências
que, no caso citado, converge para f(x). Esta serie de potencias eh
conhecida por serie de Taylor.  Por formula de Taylor, acho que se entende a
expressao f(x) = P(x)+ R(c).
As formulas e series de Mac Laurin, creio que sao um caso particuaar das de
taylor quando a =0. Eu acho que elas tem este nome porque, creio, o trabalho
de Mac laurin veio antes do de Taylor.
Abracos
Artur


Olá, estou com algumas dúvidas:

Qual é a diferença conceitual entre polinômio de Taylor e série de
Taylor?
Polinômio de Taylor pode ser chamado de fórmula de Taylor?
E existe apenas a série de Maclaurin ou/e Fórmula de Maclaurin?

Muito obrigado pela ajuda,
Thiago

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