[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] F�rmula de Taylor

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Thiago,
Se uma funcao f, real de variavel real, for diferenciavel ateh a ordem n-1
em um intervalo [a,b], se as derivadas ateh a ordem n-1 forem continuas em
[a,b] e se a derivada de ordem n existir em (a,b) (nao precisa ser
continua), entao, para todo x em [a, b] temos que f(x) = f(a) + (x-a) f'(a)
... + (x-a)^(n-1)/(n-1!f_n-1(a) + x^n/n!f_n(c), onde f_i denota a derivada
de ordem i e c e um numero em (a, b). . Observamos assim que f(x) eh dada
pela soma de um polinomio do grau n em x com um numero que tambem depende de
x. Logo f(x) = P(x)+ R(x). O polinomio P e usualmente conhecido por
polinomio de Taylor e R(x) eh conhecido por resto de Lagrange.
Suponhamos agora que para todo n, f_n exista em [a,b]. Para um dado x em
[a,b], observamos que o numero c passa ser uma funcao de n de modo que
podemos escrever f(x) = P_n(x) + R(n), sendo P_n um polinomio do grau n.
Temos assim no segundo membro uma sequencia constante e em que todos os
termos igualam-se a  f(x). Se R(n) ->0, entao f(x) pode ser dada por um
"polinomio de grau infinito". Mais precisamente, por uma serie de pot�ncias
que, no caso citado, converge para f(x). Esta serie de potencias eh
conhecida por serie de Taylor.  Por formula de Taylor, acho que se entende a
expressao f(x) = P(x)+ R(c).
As formulas e series de Mac Laurin, creio que sao um caso particuaar das de
taylor quando a =0. Eu acho que elas tem este nome porque, creio, o trabalho
de Mac laurin veio antes do de Taylor.
Abracos
Artur


Ol�, estou com algumas d�vidas:

Qual � a diferen�a conceitual entre polin�mio de Taylor e s�rie de
Taylor?
Polin�mio de Taylor pode ser chamado de f�rmula de Taylor?
E existe apenas a s�rie de Maclaurin ou/e F�rmula de Maclaurin?

Muito obrigado pela ajuda,
Thiago

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