Re: [obm-l] Cardinalidade

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Artur Costa Steiner" <artur@opendf.com.br>
> > Alguém podia me mostrar uma prova de que R não é enumerável ?
>
> Uma muito bonita, devida a Cantor, eh baseada no fato de que R eh
> completo e que, em razao disto, toda sequencia de itervalos fechados
> aninhados contem um elemento comum.
> Basta demonstrar que I=[0,1] nao eh numeravel (se um conjunto contem um
> subconjunto nao numeravel, entao ele nao eh numeravel). Seja S
> ={x1,x2,....xn....} uma enumeracao de elementos de I. Uma sequencia em I
> na qual os termos sao distintos 2 a 2. Escolhamos um subintervalo
> fechado, I1, de I que nao contenha x1. Isto eh possivel, pois todo
> elemento de I eh ponto de acumulacao do mesmo. Feito isto, escolhamos um
> subintervalo fechado I2 de I1 que nao contenha x2, e assim por diante.
> Eh um processo indutivo simples, omito aqui os detalhes, pois vc
> certamente estah familiarizado com inducao finita. Vemos entao que este
> processo gera uma sequencia {In} de subintervalos fechados de I tal que,
> por construcao, para todo n xn nao pertece a In. Logo, nemhum elemento
> da enumeracao S eh comum a todos os intervalos In. Mas, como R eh
> completo, existe de fato um elemento x comum a todos os intervalos de
> {In}, o qual, claramente, pertence a I. Isto nos mostra que S, seja ela
> qual for, nao cobre a totalidade de I. Em outras palavras, nenhuma
> enumeracao de elementos de I contem todo o I, sempre fica um elemento
> "de fora". Concluimos assim que I e, portanto, o proprio R, nao sao
> numeraveis.
> O que eu acho bonito nesta prova eh que ela depende apenas do fato de
> que R eh um conjunto ordenado (bom, tambem de que todos seus elemntos
> sao pontos de acumulacao). Eh um caso particular de um teorema mais
> geral: Em R^n, nenhum conjunto perfeito eh numeravel. Um conjunto eh
> dito perfeito se for fechado e todos seus elementos forem pontos de
> acumulacao do mesmo. Um bonito exercicio eh demonstrar este teorema.
>
> Hah outra linda prova (ateh mais simpes do que a prova que dei), tambem
> devida a e Cantor, baseada na expansao decimal dos numeros reais. Com
> 99,99999% de probabibilidade algum colega a apresentara para vc, estou
> saindo agora.
> Um abraco
> Artur
>
> Ps. Um pequeno detalhe. Acho que o titulo de sua mensagem estah um pouco
> inapropriado, pois cardinalidade eh um outro conceito, relacionado ao
> numero de elementos de conjuntos e bijecoes enter eles. Mas, OK

Oi Artur!

Acho que o André T. não se confundiu. Usamos o termo cardinalidade para
expressar a "quantidade de elementos" do conjunto. Dois conjuntos possuem a
mesma cardinalidade se existe uma bijeção entre eles. Um conjunto tem a
cardinalidade dos naturais se é enumerável. Portanto, é apropriado o título,
sim. Talvez você tenha se confundido com o termo ordinalidade. Aí, neste
caso, não basta ter um conjunto para saber qual seu número ordinal, temos
que ter uma boa ordem definida nele.

Bom, mas não foi só por isso que eu resolvi escrever este e-mail.

Uma outra forma de provar que os reais são não enumeráveis é usar o fato de
que ele é um espaço métrico completo sem pontos isolados. Caso contrário, se
os reais pudessem ser enumerados numa seqüência (x_n), então cada conjunto
F_n = {x_n} seria fechado e com interior vazio. Seguiria que \união{F_n} é
magro, pelo famoso teorema de Baire, e logo seu complementar é denso nos
reais, mas o complementar é vazio! Ou seja, temos uma contradição, e os
números reais formam um conjunto não enumerável.

Como conseqüência do mesmo teorema de Baire segue facilmente que todo
subconjunto perfeito do R^n é não enumerável. Na prova do teorema de Baire
(um espaço métrico completo é um espaço de Baire), utiliza-se o mesmo
argumento de intervalos encaixantes que você está usando, Artur. Só que, é
claro, este teorema é tem muitas outras aplicações, pois é mais geral.

Abração!
Duda.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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