Re: [obm-l] Cardinalidade

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Artur Costa Steiner" <artur@opendf.com.br>
> > Algu�m podia me mostrar uma prova de que R n�o � enumer�vel ?
>
> Uma muito bonita, devida a Cantor, eh baseada no fato de que R eh
> completo e que, em razao disto, toda sequencia de itervalos fechados
> aninhados contem um elemento comum.
> Basta demonstrar que I=[0,1] nao eh numeravel (se um conjunto contem um
> subconjunto nao numeravel, entao ele nao eh numeravel). Seja S
> ={x1,x2,....xn....} uma enumeracao de elementos de I. Uma sequencia em I
> na qual os termos sao distintos 2 a 2. Escolhamos um subintervalo
> fechado, I1, de I que nao contenha x1. Isto eh possivel, pois todo
> elemento de I eh ponto de acumulacao do mesmo. Feito isto, escolhamos um
> subintervalo fechado I2 de I1 que nao contenha x2, e assim por diante.
> Eh um processo indutivo simples, omito aqui os detalhes, pois vc
> certamente estah familiarizado com inducao finita. Vemos entao que este
> processo gera uma sequencia {In} de subintervalos fechados de I tal que,
> por construcao, para todo n xn nao pertece a In. Logo, nemhum elemento
> da enumeracao S eh comum a todos os intervalos In. Mas, como R eh
> completo, existe de fato um elemento x comum a todos os intervalos de
> {In}, o qual, claramente, pertence a I. Isto nos mostra que S, seja ela
> qual for, nao cobre a totalidade de I. Em outras palavras, nenhuma
> enumeracao de elementos de I contem todo o I, sempre fica um elemento
> "de fora". Concluimos assim que I e, portanto, o proprio R, nao sao
> numeraveis.
> O que eu acho bonito nesta prova eh que ela depende apenas do fato de
> que R eh um conjunto ordenado (bom, tambem de que todos seus elemntos
> sao pontos de acumulacao). Eh um caso particular de um teorema mais
> geral: Em R^n, nenhum conjunto perfeito eh numeravel. Um conjunto eh
> dito perfeito se for fechado e todos seus elementos forem pontos de
> acumulacao do mesmo. Um bonito exercicio eh demonstrar este teorema.
>
> Hah outra linda prova (ateh mais simpes do que a prova que dei), tambem
> devida a e Cantor, baseada na expansao decimal dos numeros reais. Com
> 99,99999% de probabibilidade algum colega a apresentara para vc, estou
> saindo agora.
> Um abraco
> Artur
>
> Ps. Um pequeno detalhe. Acho que o titulo de sua mensagem estah um pouco
> inapropriado, pois cardinalidade eh um outro conceito, relacionado ao
> numero de elementos de conjuntos e bijecoes enter eles. Mas, OK

Oi Artur!

Acho que o Andr� T. n�o se confundiu. Usamos o termo cardinalidade para
expressar a "quantidade de elementos" do conjunto. Dois conjuntos possuem a
mesma cardinalidade se existe uma bije��o entre eles. Um conjunto tem a
cardinalidade dos naturais se � enumer�vel. Portanto, � apropriado o t�tulo,
sim. Talvez voc� tenha se confundido com o termo ordinalidade. A�, neste
caso, n�o basta ter um conjunto para saber qual seu n�mero ordinal, temos
que ter uma boa ordem definida nele.

Bom, mas n�o foi s� por isso que eu resolvi escrever este e-mail.

Uma outra forma de provar que os reais s�o n�o enumer�veis � usar o fato de
que ele � um espa�o m�trico completo sem pontos isolados. Caso contr�rio, se
os reais pudessem ser enumerados numa seq��ncia (x_n), ent�o cada conjunto
F_n = {x_n} seria fechado e com interior vazio. Seguiria que \uni�o{F_n} �
magro, pelo famoso teorema de Baire, e logo seu complementar � denso nos
reais, mas o complementar � vazio! Ou seja, temos uma contradi��o, e os
n�meros reais formam um conjunto n�o enumer�vel.

Como conseq��ncia do mesmo teorema de Baire segue facilmente que todo
subconjunto perfeito do R^n � n�o enumer�vel. Na prova do teorema de Baire
(um espa�o m�trico completo � um espa�o de Baire), utiliza-se o mesmo
argumento de intervalos encaixantes que voc� est� usando, Artur. S� que, �
claro, este teorema � tem muitas outras aplica��es, pois � mais geral.

Abra��o!
Duda.

=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================