RE: [obm-l] Cardinalidade

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

> Oi Artur!
> 
> Acho que o André T. não se confundiu. Usamos o termo cardinalidade
para
> expressar a "quantidade de elementos" do conjunto. Dois conjuntos
possuem
> a
> mesma cardinalidade se existe uma bijeção entre eles. Um conjunto tem
a
> cardinalidade dos naturais se é enumerável. Portanto, é apropriado o
> título,
> sim. Talvez você tenha se confundido com o termo ordinalidade. Aí,
neste
> caso, não basta ter um conjunto para saber qual seu número ordinal,
temos
> que ter uma boa ordem definida nele.

Sem duvida, de fato vc tem razao.

> Bom, mas não foi só por isso que eu resolvi escrever este e-mail.
> 
> Uma outra forma de provar que os reais são não enumeráveis é usar o
fato
> de
> que ele é um espaço métrico completo sem pontos isolados. Caso
contrário,
> se
> os reais pudessem ser enumerados numa seqüência (x_n), então cada
conjunto
> F_n = {x_n} seria fechado e com interior vazio. Seguiria que
\união{F_n} é
> magro, pelo famoso teorema de Baire, e logo seu complementar é denso
nos
> reais, mas o complementar é vazio! Ou seja, temos uma contradição, e
os
> números reais formam um conjunto não enumerável.
> 
> Como conseqüência do mesmo teorema de Baire segue facilmente que todo
> subconjunto perfeito do R^n é não enumerável. Na prova do teorema de
Baire
> (um espaço métrico completo é um espaço de Baire), utiliza-se o mesmo
> argumento de intervalos encaixantes que você está usando, Artur. Só
que, é
> claro, este teorema é tem muitas outras aplicações, pois é mais geral.

Um vez eu cheguei a uma conclusao tambem um pouco mais geral, que talvez
seja tambem consequencia do T. de Baire. Se, em um espaco de Hausdorff,
um conjunto A eh perfeito e algum a de A possui uma vizinhanca com um
fecho compacto, entao A eh nao numeravel. Nao eh preciso assumir que o
espaco todo seja sequer localmente compacto. Mas a condicao de Hausdorff
me parece essencial. 

Sabe, eu sempre tive um pouco de dificuldade de entender o teorema de
Baire. Nao consegui ainda coloca-lo na massa do meu sangue da forma que
consegui fazer com outros conceitos ligados a espacos metricos e
topologicos em geral.  
Um grande abraco
Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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