RE: [obm-l] Cardinalidade

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

> Alguém podia me mostrar uma prova de que R não é enumerável ?

Uma muito bonita, devida a Cantor, eh baseada no fato de que R eh
completo e que, em razao disto, toda sequencia de itervalos fechados
aninhados contem um elemento comum.
Basta demonstrar que I=[0,1] nao eh numeravel (se um conjunto contem um
subconjunto nao numeravel, entao ele nao eh numeravel). Seja S
={x1,x2,....xn....} uma enumeracao de elementos de I. Uma sequencia em I
na qual os termos sao distintos 2 a 2. Escolhamos um subintervalo
fechado, I1, de I que nao contenha x1. Isto eh possivel, pois todo
elemento de I eh ponto de acumulacao do mesmo. Feito isto, escolhamos um
subintervalo fechado I2 de I1 que nao contenha x2, e assim por diante.
Eh um processo indutivo simples, omito aqui os detalhes, pois vc
certamente estah familiarizado com inducao finita. Vemos entao que este
processo gera uma sequencia {In} de subintervalos fechados de I tal que,
por construcao, para todo n xn nao pertece a In. Logo, nemhum elemento
da enumeracao S eh comum a todos os intervalos In. Mas, como R eh
completo, existe de fato um elemento x comum a todos os intervalos de
{In}, o qual, claramente, pertence a I. Isto nos mostra que S, seja ela
qual for, nao cobre a totalidade de I. Em outras palavras, nenhuma
enumeracao de elementos de I contem todo o I, sempre fica um elemento
"de fora". Concluimos assim que I e, portanto, o proprio R, nao sao
numeraveis.
O que eu acho bonito nesta prova eh que ela depende apenas do fato de
que R eh um conjunto ordenado (bom, tambem de que todos seus elemntos
sao pontos de acumulacao). Eh um caso particular de um teorema mais
geral: Em R^n, nenhum conjunto perfeito eh numeravel. Um conjunto eh
dito perfeito se for fechado e todos seus elementos forem pontos de
acumulacao do mesmo. Um bonito exercicio eh demonstrar este teorema.

Hah outra linda prova (ateh mais simpes do que a prova que dei), tambem
devida a e Cantor, baseada na expansao decimal dos numeros reais. Com
99,99999% de probabibilidade algum colega a apresentara para vc, estou
saindo agora.
Um abraco
Artur     
  
Ps. Um pequeno detalhe. Acho que o titulo de sua mensagem estah um pouco
inapropriado, pois cardinalidade eh um outro conceito, relacionado ao
numero de elementos de conjuntos e bijecoes enter eles. Mas, OK 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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