RE: [obm-l] Logaritmo Irracional

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Suponhamos que log(N) seja racional. Como log(N)>=0, pois N>=1, temos
que log(N)= m/n, onde m>=0 e n>0 sao inteiros. Segue-se que N=10^(m/n) e
que N^n =2^m*5^m. Logo, 2 e 5 sao os unicos primos que comparecem na
fatoracao de N, do que deduzimos que N=2^k1*5^k2, sendo k1 e k2 inteiros
nao negativos. Temos entao que N^n = 2^(nk1)*5^(nk2) = 2^m*5^m, o que
implica que nk1=m, nk2=m => k1 = k2 = m/n = k = inteiro.  Logo, N=2^k .
5^k =10^k => N eh potencia de 10. Tomando-se a contrapositiva desta
conclusao,segue-se que se  
N nao for potencia de 10 entao log(N) eh irracional. 
Interessante que isto nao pode ser generalizado para inteira >1. 4 nao
eh potencia de 16, mas log(4) (base 16) =1/2, racional. Pode,
entretanto, ser generalizado se N for da forma N= (p1*..pk)^q, onde q eh
inteiro positivo e p1,...pk sao primos.
Um abraco
Artur

 
> Oi, pessoal:
> 
> Eu me lembro de jah ter visto mais de 10 mensagens aqui na lista sobre
a
> irracionalide de raiz(2), raiz(p), p^(1/n), etc. mas nunca sobre a
> irracionalidade de um logaritmo. Assim, aqui vai um problema:
> 
> Prove que se N eh um inteiro positivo que nao eh uma potencia de 10,
entao
> log(N) (logaritmo na base 10) eh irracional.
> 
> Dica: a demonstracao eh ateh mais curta do que o caso de raiz(2) e usa
> apenas o teorema da unicidade da fatoracao dos numeros inteiros.
> 
> 
> Um abraco,
> Claudio.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================