[obm-l] RE: [obm-l] MAtemática - Desafio

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

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[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of João
Sent: Tuesday, September 02, 2003 2:14 AM
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Subject: [obm-l] MAtemática - Desafio

Continuo tentando, sem resultados satisfatórios!
----- Original Message ----- 
From: João 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Tuesday, August 26, 2003 1:37 PM
Subject: [obm-l] ME AJUDEM POR FAVOR

  
1) Uma família de curvas tem a propriedade de que em cada ponto P(x,y), o
coeficiente angular das retas tangentes é igual à razão da ordenada do ponto
pela abcissa somada ao quádruplo do quadrado da abcissa. Sabendo que uma
curva da família passa pelo ponto Q(1,2), então, a ordenada do ponto da
mesma que tem abcissa 2 é ?

Suponhamos que cada curva da familia tenha equacao y = f(x). Se interpretei
direito (equacoes descritas com palavras dao margem a ambiguidade), entao
dy/dx = y/(x+4x^2). Temos entao uma equacao diferencial de variaveis
separaveis. dy/y = dx/(x+4x^2). Integrando-se o primeiro membro, temos
ln(y). No segundo, temos a integral da fracao racional 1/(x+4x^2) =
1/(x(x+4)) = 1/4 (1/x - 1/(x+4)). Integrando-se o segundo membro, chegamos
entao a ln(y) = 1/4(ln(x) - ln(x+4)) + C, onde C eh uma constante. Logo,
ln(y) = ln((x/(x+4))^1/4) + C => K(x/(x+4))^(1/4), onde K = e^C eh uma
constante positiva.
Dado que a curva em questao passa por(1,2), temos que 2 = K. (1/5)^^(1/4),
logo K= 2*5^(1/4) e a curva eh y = 2*5^(1/4)* (x/(x+4))^(1/4))= 2x
(5/x+4)^(1/4). Como nao deu um resultado bonito, talvez eu tenha cometido
algum erro. Confira.
Abracos
Artur

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