Re: [obm-l] Progressão Aritmética (ajuda)

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Progressão Aritmética (ajuda)

on 01.09.03 19:29, Nelson at nelson_alotiab@yahoo.com.br wrote:

> Olá a todos, alguém poderia me dar uma ajuda nessas questão?, eu nem sequer consegui desenvolvê-las direito e o livro não expõe respostas. Desde já agradeço.
>  
> 1) Prove que, se (a1, a2, a3, ..., an) é P.A., com n > 2, então {(a2)^2 - (a1)^2, (a3)^2 - (a2)^2, (a4)^2 - (a3)^2, ..., (an)^2 - [a(n-1)]^2} também é.
>
> Seja r = razao da PA.
>
> a(k+1)^2 - a(k)^2 = (a(k+1) - a(k))*(a(k+1) + a(k)) = r*(a(k+1) + a(k))   (*)
>
> Mas se a(1), a(2), a(3), .... eh uma PA de razao = r
> entao 
> a(1)+a(2), a(2)+a(3), a(3)+a(4) tambem eh uma PA de razao = 2r
>
> Logo, multiplicando esta ultima PA por r, continuamos com uma PA (de razao 2r^2), que por (*) acima eh igual a sequencia que queremos provar ser uma PA.
>
> *****
>  
> 2) Prove que, se uma P.A. apresenta am = x, an = y e ap = z, então verifica-se a relação:
> (n-p)x + (p-m)y + (m-n)z = 0.
>
> Seja S = (n-p)x + (p-m)y + (m-n)z
>
> Seja r = razao da PA e ponhamos a(0) = a.
> Entao: 
> a(m) = a + m*r = x  ==>  (n-p)x = (n-p)a + (n-p)mr 
> a(n) = a + n*r = y    ==> (p-m)y = (p-m)a + (p-m)nr  
> a(p) = a + p*r = z    ==> (m-n)z = (m-n)a + (m-n)pr
>
> Somando as tres equacoes e ja levando em conta que (n-p)a + (p-m)a + (m-n)a = 0, teremos:
> S = [(n-p)m + (p-m)n + (m-n)p]r = [nm - pm + pn - mn + mp - np]r = 0r = 0.
>
> ****** 
>   
> 3) Prove os termos de uma P.A. qualquer em que 0 nã participa verificam a relação:
> 1/a1.a2 + 1/a2.a3 + 1/a3.a4 + ... + 1/a(n-1).an = (n - 1)/a1.an
>
> Seja r a razao da PA e seja a(0) = a. 
> Entao, ak = a + kr.
>
> O k-esimo termo da soma serah igual a:
> 1/(ak.a(k+1)) = 1/((a+kr)(a+(k+1)r)) = (1/r)*(1/(a+kr) - 1/(a+(k+1)r))
>
> (essa eh uma tecnica muito util chamada expansao em fracoes parciais)
>
> Assim:
> 1/(a1.a2) = (1/r)*(1/(a+r) - 1/(a+2r))
> 1/(a2.a3) = (1/r)*(1/(a+2r) - 1/(a+3r))
> 1/(a3.a4) = (1/r)*(1/(a+3r) - 1/(a+4r))
> ...
> 1/(a(n-1).an) = (1/r)*(1/(a+(n-1)r) - 1/(a+nr))
>
> Mas entao, a soma tornou-se telescopica, ou seja:
>
> SOMA = (1/r)*(1/(a+r) - 1/(a+nr)) = (1/r)*(n-1)r/((a+r)(a+nr)) =
> = (n-1)/(a1.an)