Re: [obm-l] Algebra Linear [u]

["Henrique Patrício Sant'Anna Branco" <hpsbranco@xxxxxxxxxxxxxx>]

Domingos,

> 1. Defina a média u*v entre dois vetores u,v no espaço vetorial E pondo
u*v
> = (1/2)u + (1/2)v. Prove que (u*v)*w = u*(v*w) se, e somente se, u = w.
>
> (u*v)*w = [(1/2)u + (1/2)v]*w = 1/2.[(1/2)u + (1/2)v] + 1/2.w =
> 1/4.u + 1/4.v + 1/2.w
>
> do outro lado:
> u*(v*w) = u*[(1/2)v + (1/2)w] = 1/2.u + 1/4v + 1/4w
> 1/4.u + 1/4.v + 1/2.w = 1/2.u + 1/4v + 1/4w
>
> logo
> (u*v)*w = u*(v*w)
> <=>
> 1/4.u + 1/2.w = 1/2.u + 1/4w
> <=>
> 1/4.u = 1/4w
> <=> u = w

Resolvi exatamente dessa forma, mas achei que poderia estar errado. Queria
uma opinião.

> 2. Dados os espaços vetoriais E1, E2, considere o conjunto E = E1 x E2
> (produto cartesiano de E1 por E2), cujos elementos são os pares ordenados
v
> = (v1, v2), com v1 pertencente a E1 e v2 pertecente a E2. Defina operações
> que tornem E um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um dos
axiomas
> e mostre que sua definição se estende para o caso de n espaços vetoriais
E1,
> ..., En, ou mesmo de uma sequência infinita E1, E2, ..., En, ... .
>
> é bastante coisa pra mostrar e todas elas são razoavelmente simples!
> a definição é bem simples:
>
>     soma:
> (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2)
>     mult. por escalar:
> lambda*(v1, v2) = (lambda*v1, lambda*v2)

É, eu queria realmente se essas definições usuais funcionavam. Eram
basicamente essas duvidas, daqui pra frente eu sei que seguir...
Agradeço muito.
Henrique.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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