[obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas

["Frederico Reis Marques de Brito" <fredericor@xxxxxxxxxxx>]

Olá Cláudio ( obrigado por ter dado atenção às minhas questoes) e demais 
COLEGAS da lista ( por colegas entendo aqueles que, de alguma forma, estão 
realmenteinteressados na discussão sobre a Matemática e suas belezas 
contribuindo efetivamente para a manutenção e o desenvolvimento da cultura 
matemática neste país.).

Correto. Concordo com as três soluções. Entretanto para o segundo exercício 
podemos dar uma solução mais rápida:
como   a^2b^2c^2 + ab +ac + bc >= wabc    para todo  a, b, c positivos , 
fazendo a=b=c=1, temos:
w<=4 .
Resta provar que  w=4 satisfaz a condição imposta no enunciado. Para tanto, 
usamos novamente, a desigualdade entere as médias,  MA >= MG:
(a^2b^2c^2+ab+ac+bc)/4 >=  (a^2b^2c^2abacbc)^{1/4} = (a^4b^4c^4)^{1/4}=abc 
=>
(abc)^2+ab+ac+bc >= 4abc.

Um grande abraço,
Frederico.


>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Questões Divertidas
>Date: Tue, 19 Aug 2003 15:08:27 -0300
>
>Oi, Frederico:
>
>Jah que ninguem mais respondeu, aqui vai...
>
> > (1)    Mostre  que  tg(x)  + cotg (x) >= 2
>
>Supondo que x (mod 2Pi) esteja em (0,Pi/2) U (Pi,3Pi/2), o resultado eh
>consequencia de que (tg(x) - 1)^2 >= 0.
>
>
> >
> > (2)  Encontre o maior número real   w     tal que     wabc <=   (abc)^2 
>+ ab
> > + ac + bc     , para todo a,b,c >0 .
> >
>O problema equivale a achar o valor minimo de:
>F(a,b,c) = abc + 1/a + 1/b + 1/c, com a,b,c > 0.
>
>Esse deu um certo trabalho, mas consegui descobrir uma solucao sem usar
>calculo.
>
>Media Geometrica >= Media Harmonica ==>
>(abc)^(1/3) >= 3/(1/a + 1/b + 1/c) ==>
>abc >= 27/(1/a + 1/b + 1/c)^3 ==>
>F(a,b,c) >= 27/(1/a +1/b + 1/c)^3 + (1/a + 1/b + 1/c),
>com igualdade <==> a = b = c, ou seja:
>F(a,b,c) eh minimo quando a = b = c
>
>Mas, fazendo x = 1/a + 1/b + 1/c, teremos:
>F(a,b,c) >= 27/x^3 + x = 4*[27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4
>
>Media Aritmetica >= Media Geometrica ==>
>[27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4 >= [(27/x^3)*(x/3)*(x/3)*(x/3)]^(1/4) = 1 ==>
>27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3 = 27/x^3 + x >= 4,
>com igualdade <==> 27/x^3 = x/3 <==> x = 3 <==> 1/a + 1/b + 1/c = 3, ou
>seja:
>F(a,b,c) eh minimo quando 1/a + 1/b + 1/c = 3.
>
>Assim, o valor minimo de F(a,b,c) eh atingido quando:
>a = b = c e 1/a + 1/b + 1/c = 3 <==> a = b = c = 1
>e nesse caso F(a,b,c) = 4
>
>Conclusao: o maior w eh igual a 4.
>
>
>
> > (3)  V ou F:    O produto da soma de nos reais positivos pela soma de 
>seus
> > inversos é >=  ao quadrado da quantidade de números.
>
>V - consequencia da desigualdade entre a media harmonica e a media
>geometrica de numeros positivos.
>
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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