Re: [obm-l] Questões Divertidas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Frederico:

Jah que ninguem mais respondeu, aqui vai...

> (1)    Mostre  que  tg(x)  + cotg (x) >= 2

Supondo que x (mod 2Pi) esteja em (0,Pi/2) U (Pi,3Pi/2), o resultado eh
consequencia de que (tg(x) - 1)^2 >= 0.


> 
> (2)  Encontre o maior número real   w     tal que     wabc <=   (abc)^2 + ab
> + ac + bc     , para todo a,b,c >0 .
> 
O problema equivale a achar o valor minimo de:
F(a,b,c) = abc + 1/a + 1/b + 1/c, com a,b,c > 0.

Esse deu um certo trabalho, mas consegui descobrir uma solucao sem usar
calculo.

Media Geometrica >= Media Harmonica ==>
(abc)^(1/3) >= 3/(1/a + 1/b + 1/c) ==>
abc >= 27/(1/a + 1/b + 1/c)^3 ==>
F(a,b,c) >= 27/(1/a +1/b + 1/c)^3 + (1/a + 1/b + 1/c),
com igualdade <==> a = b = c, ou seja:
F(a,b,c) eh minimo quando a = b = c

Mas, fazendo x = 1/a + 1/b + 1/c, teremos:
F(a,b,c) >= 27/x^3 + x = 4*[27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4

Media Aritmetica >= Media Geometrica ==>
[27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4 >= [(27/x^3)*(x/3)*(x/3)*(x/3)]^(1/4) = 1 ==>
27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3 = 27/x^3 + x >= 4,
com igualdade <==> 27/x^3 = x/3 <==> x = 3 <==> 1/a + 1/b + 1/c = 3, ou
seja:
F(a,b,c) eh minimo quando 1/a + 1/b + 1/c = 3.

Assim, o valor minimo de F(a,b,c) eh atingido quando:
a = b = c e 1/a + 1/b + 1/c = 3 <==> a = b = c = 1
e nesse caso F(a,b,c) = 4

Conclusao: o maior w eh igual a 4.



> (3)  V ou F:    O produto da soma de nos reais positivos pela soma de seus
> inversos é >=  ao quadrado da quantidade de números.

V - consequencia da desigualdade entre a media harmonica e a media
geometrica de numeros positivos.


Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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