Re: [obm-l] Teoria dos Números(Beleza matematica)

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Este eu vou colocar no Beleza Matematica,por ser
ium dos teoremas mais legais de teoria elementar
dos numeros.Ai vai:


 --- Claudio Buffara
<claudio.buffara@terra.com.br> escreveu: > Oi,
Duda:
> 
> Que tal estes aqui?
> 
> 1) Prove que se n eh inteiro e n > 1, entao n
> nao divide 2^n - 1.

Este caiu num Putnam.
Se n|2^n-1 e p e o menor primo com p|n,temos
p|2^n-1 e p|2^(p-1)-1 por Euler-Fermat.Logo
p|2^(MDC(n;p-1))-1 e assim como p-1 tem fatores
primos menores que p enquanto n nao tem fatores
primos maiores que p,temos p|1,absurdo!

 
> 2) Se p eh primo, entao a congruencia x^2 + 1
> == 0 (mod p) tem solucao se e
> somente se p = 2 ou p == 1 (mod 4).


Este teorema sai da famosa Lei de Reciprocidade
Quadratica.Prefiro algo mais elementar,isto pode
ser achado na Eureka!,sobre o poderoiso artigo do
Issao de inteiros algebricos.
Pode-se usar o teorema de Wilson para decifrar
uma fatoraçao legal.Vejam este caso
pequeno:4*3+1=13,e 12!=-1(mod 13).Como
12+1=11+2=10+3=9+4=8+5=7+6,podemos agrupar e
obter
(12*1)*(11*2)*(10*3)*(9*4)*(8*5)*(7*6)=
(-1)^6*(1*2*3*4*5*6)^2=-1(mod 13).E
fim!Generalize!
o p=2 fica por fazer.

Se x^2+1=(4k+3)*t,teremos x^2+1=-(t-1)(mod 4).
Os quadrados mod 4 sao 1,0.Logo t-1 e 0 ou 3 mod
4,e assim t e 1 ou 0 mod 4.Nao da pra ser zero
pois pares nao dividem impares,logo so da pra ser
1. 
(4k+3)(4l+1)=16kl+12l+4k+3=x^2+1,
x^2=16kl+12l+4k+2=2*(8kl+6l+2k+1),
Como 2 e primo com (8kl+6l+2k+1),e o produto deve
ser quadrado perfeito,temos que 2 deve ser
quadrado perfeito.O que e falso.

Inte!!!Ass.:Johann

> Um abraco,
> Claudio.
> 
> on 16.08.03 05:54, Eduardo Casagrande Stabel at
> dudasta@terra.com.br wrote:
> 
> > Olá pessoal!
> > 
> > Prove que se n > 1 e a > 0 são inteiros então
> n | PHY(a^n - 1).
> > 
> > PHY é a função de Euler.
> > 
> > Abraço,
> > Duda.
> > 
> >
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