Re: [obm-l] 3 pontos na circunferência

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 11.08.03 17:33, Rafael at matduvidas@yahoo.com.br wrote:

> Sejam três pontos A, B e C pertencentes a uma
> circunferência de centro O tais que AÔB < BÔC. Seja D
> o ponto médio do arco AC que contém o ponto B. Seja K
> o pé da perpendicular a BC por D. Se AB = 3cm e BK =
> 4cm o valor de KC é:
> 
> Resposta: 7cm
> 
Oi, Rafael:

Tinha me esquecido desse seu problema...

Sejam:
M = ponto medio de AB;
N = ponto medio de BC;
P = OD interseccao BC;
m(AOB) = 2a;
m(KC) = 2x.
 
Teremos:
m(AOM) = m(MOB) = m(DON) = m(PON) = a
 
Alem disso:
m(MB) = 1,5 cm
m(KN) = x - 2
m(OB) = m(OD) = R

Triangulo MOB:
MB/OB = sen(a) ==> 1,5/R = sen(a)

Triangulos NOP e KDP sao semelhantes:
m(KDP) = m(NOP) = a ==>
KP/PD = sen(a) = 1,5/R

KD/KP = ON/PN = (KD+ON)/(KP+PN) = (KD+ON)/KN = (KD+ON)/(x - 2) ==>
KD/(KD+ON) = KP/(x-2)

KD/PD = ON/OP = (KD+ON)/(PD+OP) = (KD+ON)/OD = (KD+ON)/R ==>
KD/(KD+ON) = PD/R

Ou seja: 
KP/(x-2) = PD/R ==>
KP/PD = (x-2)/R = 1,5/R ==>
x = 3,5 ==> 
2x = m(KC) = 7 cm.

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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