Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 17.08.03 10:44, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br wrote:

> 
> Reciprocamente, se existe um x satisfazendo x^2 + 1 == 0 (mod p). Temos p
> dividindo x^2 + 1 = (x + i)(x - i). Mas o domínio Z[i] é fatorial (de
> fatoração única), portanto se p for irredutível (em Z[i]) ele deve dividir x
> + i ou x - i. Se p(e + fi) = x +- i então pf = +-1, contradição, logo p é um
> elemento redutível de Z[i]. Ou seja, p = (a + bi)(c + di). Tomando normas:
> p^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2), que implica (sem perda de generalidade) que p
> = (a^2 + b^2). Mas os quadrados módulo 4 são 0 e 1, logo p é == 0, 1 ou 2
> (mod 4), como ele é ímpar só resta a possibilidade p == 1 (mod 4).
> 
Oi, Duda:

Repare que voce acabou provando que se x^2 + 1 == 0 (mod p) tem solucao,
entao p pode ser expresso como soma de 2 quadrados. Como a congruencia tem
solucao se e somente se p = 2 ou p == 1 (mod 4), isso implica que, se p eh
um primo, entao:

p = 2 ou p == 1 (mod 4)  ==>  p eh soma de 2 quadrados.

De fato, o seu argumento tambem mostrou que a condicao eh necessaria e
suficiente, uma vez que nenhum primo p tal que p == 3 (mod 4) pode ser soma
de 2 quadrados. Isso eh facil de ver pois, como um quadrado soh pode ser ==
0 ou 1 (mod 4), a soma de 2 quadrados soh pode ser == 0, 1 ou 2 (mod 4).

Alem disso, tambem eh verdade que essa representacao como soma de 2
quadrados eh unica.
 
Esse eh, na minha opiniao, um dos resultados mais bonitos da matematica a
nivel de 2o. grau (apesar de nao fazer parte do curriculo oficial de 2o.
grau).

Voce usou o fato de que Z[i] tem fatoracao unica, o que encurta bastante a
demonstracao, ao custo de introduzir nos. complexos na historia.

A demonstracao que eu tenho em mente usa apenas aritmetica em Z e o
principio das casas de pombos. Quando eu fizer a compilacao dos resultados
da enquete, vou apresentar um roteiro dessa demonstracao pro pessoal da
lista tentar.

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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