Re: [obm-l] demonstração

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 17.08.03 21:12, pichurin at pichurinbr@yahoo.com.br wrote:

> Mostre que se V é espaço vetorial de dimensão par,
> então existe uma transformação linear T:V-->V tal que
> ker(T)=Im(T).Isso é possível se a dimensão de T for
> ímpar? 
> 
Seja {v_1, v_2, ..., v_2n } uma base de V.

Defina T:V --> V como:
T(v_1) = T(v_2) = ... = T(v_n) = 0
e para k > n:
T(v_k) = v_(k-n)

Assim, ker(T) = Im(T) = span(v_1,v_2,...,v_n).

***

Para n impar isso nao eh possivel pelo teorema da imagem e do nucleo, que
diz que dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(V).

Suponha que dim(V) = 2m + 1 e que ker(T) = Im(T).

Entao, dim(Ker(T)) = dim(Im(T)) ==> 2*dim(ker(T)) = 2m + 1 ==> par = impar
==> contradicao.


Um abraco,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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