Re: [obm-l] EsaEx - Quero MESMO Passar

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] EsaEx - Quero MESMO Passar

on 16.08.03 21:47, João at flavors9@bol.com.br wrote:

> Gostaria que me explicassem as passagens em vermelho. Por favor, faltam 27 dias!
>
> 3) Prove que a função algébrica equivalente a 2 arctgx + arctgy = (PI)/4 é (x^2 + 2x - 1) / (x^2 - 2x - 1)
>
> Inicialmente, vamos calcular o valor de tg(2arctg(x)) = 
> 2tg(arctg(x))/(1 - tg(arctg(x))^2) = 2x/(1 - x^2)
>
> arctg(y) = pi/4 - 2arctg(x) ==>
> y = tg(pi/4 - 2arctg(x)) = (tg(pi/4) - tg(2arctg(x))/(1 + tg(pi/4)*tg(2*arctg(x))) =
> = (1 -  2x/(1 - x^2))/(1 + 1*2x/(1 - x^2)) =
> = (1 - x^2 - 2x)/(1 - x^2 + 2x) =
> = (x^2 + 2x - 1)/(x^2 - 2x - 1)
>
> ### Eu usei o fato de que tg(A+B) = (tg(A)+tg(B))/(1-tg(A)*tg(B))
>
> ******
>
> 4) As equações das assíntotas da função y = cotgh(x) são as retas...
>
> y = cotgh(x) = cosh(x)/sinh(x)  = (e^x + e^(-x))/(e^x - e^(-x)) = 
> = (e^(2x) + 1)/(e^(2x) - 1) = 1 + 2/(e^(2x) - 1).
>
> Para determinar as assintotas, temos que verificar o comportamento de y quando x tende a + e - infinito, e quando o denominador tende a zero (o que ocorre quando x tende a zero)
>
> ### Nesse caso, talvez seja ainda mais facil desenhar o grafico de y = cotgh(x) e deduzir quais as assintotas.
> O que eu fiz foi determinar as assintotas horizontais (x --> +inf e -inf) e verticais(denominadores tendendo a zero).
>
> Quando x --> +infinito, y --> 1 ==> y = 1 eh assintota
> Quando x --> -infinito, y --> -1 ==> y = -1 eh assintota
> Quando x --> 0+, y --> +infinito  
> Quando x --> 0-, y --> -infinito  ==> x = 0 eh assintota
>
> ******
>
> 5) A eq. polar do círculo que passa por P( sqrt3, 75graus ) e tem centro nas retas (teta = 45graus) e (Rô sen teta - sqrt8) é:
>
> O mais seguro eh trabalhar com coordenadas cartesianas:
>
> cos(75) = cos(45+30) = cos(45)cos(30) - sen(45)sen(30) = (raiz(6) - raiz(2))/4
> sen(75) = (raiz(6) + raiz(2))/4
>
> Logo, P = ( raiz(3)*cos(75) , raiz(3)*sen(75) ) ==>
> P = ( (3*raiz(2) - raiz(6))/4 , (3*raiz(2) + raiz(6))/4 )
>
> Reta 1: y = x
>
> Reta 2: y = 2*raiz(2)
>
> ### Em coordenadas polares  Ro*cos(teta) = x  e  Ro*sen(teta) = y, ja que:
> Ro = raiz(x^2+y^2), cos(teta) = x/Ro e sen(teta) = y/Ro.
>
> (supondo que a equacao seja R*sen(teta) = sqrt(8) (o sinal eh de igualdade))
>
> Interseccao das retas: C = ( 2*raiz(2) , 2*raiz(2) )
>
> Raio^2 = (Distancia de P a C)^2 = 
> ((5*raiz(2) + raiz(6))/4)^2 + ((5*raiz(2) - raiz(6))/4)^2 = 10*raiz(3)
>
> Equacao cartesiana da circunferencia:
> (x - 2*raiz(2))^2 + (y - 2*raiz(2))^2 = 10*raiz(3)
>
> x^2 + y^2 - 4*raiz(2)*(x + y) + 16 - 10*raiz(3) = 0
>
> Equacao polar:
> Ro^2 - 4*raiz(2)*Ro*(cos(teta) + sen(teta)) + 16 - 10*raiz(3) = 0 ==>
>
> Ro^2 - 8*Ro*sen(teta + Pi/4) + 16 - 10*raiz(3) = 0.
>
>  
> *****
>
> 6) Como demonstrar a relação de Euler, sendo (i = sqrt -1)  ?
>  
> A solução é boa, mas não serve, pois o que se procura é e^i*teta, ou seja, vc usou a hipótese! Eu não lembro pra quem emprestei meu livro de variável complexa e estou realmente perdido no assunto, pois tem muito tempo que estudei!!
>
>
> ### Ou seja, voce quer provar que e^(ix) = cos(x) + i*sen(x). De fato, isso eh a definicao de exponencial complexa, mas voce pode ver que eh uma boa definicao expandindo e^(ix), cos(x) e sen(x) em serie de Taylor e comparando).
>
> Imagino que a relacao e Euler seja e^(i*pi) = -1.
>
> Definicao de Exponencial Complexa ==> e^(i*x) = cos(x) + i*sen(x).
>
> Fazendo x = Pi ==> e^(i*pi) = cos(pi) + i*sen(pi) = -1 + i*0 = -1.
>
> ******
>
>
> 8) ESSA É BRABÍSSIMA!! De quantas maneiras diferentes se pode colocar 3 anéis em 5 dedos?
>
> Existem 3 possibilidades mutuamente exclusivas:
> 1) 3 aneis num mesmo dedo: 5*3! = 5*6 = 30   (aqui vc multiplicou as combinações dos 3 anéis em cada dedo OK) 
> 2) 2 aneis num dedo e 1 num outro: 5*C(3,2)*2!*4 = 5*3*2*4 = 120 ( 5 dedos * a combinação de 3 anéis 2 a 2 e depois?) 
> ### Depois vem permutacao dos dois aneis que estao num mesmo dedo (2!) e escolha do dedo para o anel restante (4).
>
> 3) 1 anel em cada dedo: 5*4*3 = 60 ( por que esta conta?)
> ### Escolha do dedo pro 1o. anel (5); escolha do dedo pro 2o. anel (4); escolha do dedo pro 3o. anel (3).
>
> Total = 30 + 120 + 60 = 210 maneiras.
>
> *****
>
> 9) Sejam X,Y,Z matrizes de 3a. ordem em que XY = Z^(-1) e Y = 3X. Se Det (Z) = 12, qual o valor de Det (X)?
>
> X*(3X) = Z^(-1) ==> 
> 3*X^2 = Z^(-1) ==>
> det(3*X^2) = det(Z^(-1)) ==>
> 3^3 * det(X)^2 = 1/12 ==>    (Porque este 3 ao cubo?)
> det(X)^2 = 1/324 ==>
> det(X) = 1/18  ou  det(X) = -1/18
>
> Se voce multiplicar uma linha por 3, o determinante triplica. Mas voce multiplicou 3 linhas por 3 (ou seja, a matriz inteira), logo o determinante triplicou 3 vezes, ou seja, foi multiplicado por 3*3*3 = 3^3.
>
> Agradeço muito MESMO a ajuda que vcs estão me dando! Eu ainda estou estudando HIST, GEOG e PORT. Tem muita coisa pra rever!
>  
> Desculpe-me pelas questões muito fáceis, mas às vezes a gente pula algumas!
>  
> A prova é deste nível pra cima! As questões de espacial eu nem tô me esforçando em digitar! Vcs acham justo um tempo de 3 minutos pra cada questão?
> Só uns 10 % da prova que é fácil (pelo menos pra mim)! Se comparado com o provão, eu acredito que é MUITO SUPERIOR!
>  
> FORTE ABRAÇO
>