Re: [obm-l] EsaEx - Quero Passar !

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] EsaEx - Quero Passar !

> on 15.08.03 01:07, João at flavors9@bol.com.br wrote: 
>
> Só as curtas agora!
>  
> 1) Mostre que a soma de todas as raízes da eq. Z^n - 1 = 0, no conjunto dos complexos é zero!
>
> Sejam w1, w2, ...., wn as raizes. Imagino que voce saiba que o polinomio z^n - 1 possa ser fatorado como: z^n - 1 = (z - w1)(z - w2)...(z - wn).
>
> Nesse caso, nao eh muito dificil ver que o coeficiente de z^(n-1) eh igual a:
> -(w1 + w2 + ... + wn).
>
> Mas, o coeficicente de z^(n-1) no polinomio z^n - 1 'e igual a zero. Logo...
>
> ***** 
>  
> 2) A tg do ângulo que a reta normal à curva Ax + By + Cx^2 + Dxy + Ey^2 + Fx^3 = na origem, forma com o eixo 0x é?
>
> Derivando implicitamente, obtemos:
> A + By' + 2Cx + Dy + Dxy' + 2Eyy' + 3Fx^2 = 0 ==>
> (B + Dx + 2Ey)y' = -(A + 2Cx + Dy + 3Fx^2).
>
> Mas o coeficiente angular da normal eh igual a -1/y' ==>
>
> -1/y' = (B + Dx + 2Ey)/(A + 2Cx + Dy + 3Fx^2)
>
> Tomando o valor dessa expressao na origem (0,0), teremos:
>
> (-1/y') = tangente desejada = B/A
>  
> *****
>
> 3) Prove que a função algébrica equivalente a 2 arctgx + arctgy = (PI)/4 é (x^2 + 2x - 1) / (x^2 - 2x - 1)
>
> Inicialmente, vamos calcular o valor de tg(2arctg(x)) = 
> 2tg(arctg(x))/(1 - tg(arctg(x))^2) = 2x/(1 - x^2)
>
> arctg(y) = pi/4 - 2arctg(x) ==>
> y = tg(pi/4 - 2arctg(x)) = (tg(pi/4) - tg(2arctg(x))/(1 + tg(pi/4)*tg(2*arctg(x))) =
> = (1 -  2x/(1 - x^2))/(1 + 1*2x/(1 - x^2)) =
> = (1 - x^2 - 2x)/(1 - x^2 + 2x) =
> = (x^2 + 2x - 1)/(x^2 - 2x - 1)
>
> ******
>
> 4) As equações das assíntotas da função y = cotgh(x) são as retas...
>  
> y = cotgh(x) = cosh(x)/sinh(x)  = (e^x + e^(-x))/(e^x - e^(-x)) = 
> = (e^(2x) + 1)/(e^(2x) - 1) = 1 + 2/(e^(2x) - 1).
>
> Para determinar as assintotas, temos que verificar o comportamento de y quando x tende a + e - infinito, e quando o denominador tende a zero (o que ocorre quando x tende a zero)
>
> Quando x --> +infinito, y --> 1 ==> y = 1 eh assintota
> Quando x --> -infinito, y --> -1 ==> y = -1 eh assintota
> Quando x --> 0+, y --> +infinito  
> Quando x --> 0-, y --> -infinito  ==> x = 0 eh assintota
>
> ******
>
> 5) A eq. polar do círculo que passa por P( sqrt3, 75graus ) e tem centro nas retas (teta = 45graus) e (Rô sen teta - sqrt8) é:
>
> O mais seguro eh trabalhar com coordenadas cartesianas:
>
> cos(75) = cos(45+30) = cos(45)cos(30) - sen(45)sen(30) = (raiz(6) - raiz(2))/4
> sen(75) = (raiz(6) + raiz(2))/4
>
> Logo, P = ( raiz(3)*cos(75) , raiz(3)*sen(75) ) ==>
> P = ( (3*raiz(2) - raiz(6))/4 , (3*raiz(2) + raiz(6))/4 )
>
> Reta 1: y = x
>
> Reta 2: y = 2*raiz(2)
> (supondo que a equacao seja R*sen(teta) = sqrt(8) (o sinal eh de igualdade))
>
> Interseccao das retas: C = ( 2*raiz(2) , 2*raiz(2) )
>
> Raio^2 = (Distancia de P a C)^2 = 
> ((5*raiz(2) + raiz(6))/4)^2 + ((5*raiz(2) - raiz(6))/4)^2 = 10*raiz(3)
>
> Equacao cartesiana da circunferencia:
> (x - 2*raiz(2))^2 + (y - 2*raiz(2))^2 = 10*raiz(3)
>
> x^2 + y^2 - 4*raiz(2)*(x + y) + 16 - 10*raiz(3) = 0
>
> Equacao polar:
> Ro^2 - 4*raiz(2)*Ro*(cos(teta) + sen(teta)) + 16 - 10*raiz(3) = 0 ==>
>
> Ro^2 - 8*Ro*sen(teta + Pi/4) + 16 - 10*raiz(3) = 0.
>
>   
> *****
>
> 6) Como demonstrar a relação de Euler, sendo (i = sqrt -1)  ?
>
> Imagino que a relacao e Euler seja e^(i*pi) = -1.
>
> Definicao de Exponencial Complexa ==> e^(i*x) = cos(x) + i*sen(x).
>
> Fazendo x = Pi ==> e^(i*pi) = cos(pi) + i*sen(pi) = -1 + i*0 = -1.
>
> ******
>
> 7) A reta y = ax + b é perpendicular à reta tg ao gráfico da curva y = 1/(sqrt(x^2 +1) no ponto de abscissa x = 1. Nestas condições, a + b = ?
>
> y = (x^2 + 1)^(-1/2) ==> 
> y' = 2x*(-1/2)*(1+x^2)^(-3/2). ==>
> -1/y' = (1 + x^2)^(3/2)/x = tg da normal
>
> x = 1 ==> tg da normal = raiz(2) ==> y = raiz(2)*x + b  (a = raiz(2))
>
> x = 1 ==> y = 1/raiz(2) = raiz(2)/2 ==> 
> raiz(2)/2 = raiz(2)*1 + b ==>
> b = - raiz(2)/2 ==>
>
> a + b = raiz(2)/2.
>
>
> ******
>  
> 8) ESSA É BRABÍSSIMA!! De quantas maneiras diferentes se pode colocar 3 anéis em 5 dedos?
>
> Existem 3 possibilidades mutuamente exclusivas:
> 1) 3 aneis num mesmo dedo: 5*3! = 5*6 = 30
> 2) 2 aneis num dedo e 1 num outro: 5*C(3,2)*2!*4 = 5*3*2*4 = 120
> 3) 1 anel em cada dedo: 5*4*3 = 60
>
> Total = 30 + 120 + 60 = 210 maneiras.
>
> *****
>
> 9) Sejam X,Y,Z matrizes de 3a. ordem em que XY = Z^(-1) e Y = 3X. Se Det (Z) = 12, qual o valor de Det (X)?
>
> X*(3X) = Z^(-1) ==> 
> 3*X^2 = Z^(-1) ==>
> det(3*X^2) = det(Z^(-1)) ==>
> 3^3 * det(X)^2 = 1/12 ==>
> det(X)^2 = 1/324 ==>
> det(X) = 1/18  ou  det(X) = -1/18
>
> *****
>
> 10) Considere os lugares geométricos do plano cartesiano definido pelas equações: E1: (x - y)^2 + x(1 + 2y) <= 7/8 e    E2: x - y + m = 0
>      Determine, caso existam, o valor de m e as cordenadas do ponto P(x,y), de modo que P(x,y) seja a única solução para E1 INTERSEÇÂO E2
>
> x - y = -m <==> x = y - m
>
> m^2 + (y - m)*(1 + 2y) <= 7/8 ==>
>
> 2y^2 + (1 - 2m)y + m^2 - m - 7/8 <= 0
> e essa desigualdade eh satisfeita para um unico valor de y 
> (ou seja, a reta tangencia a elipse) ==>
>
> 2y^2 + (1 - 2m)y + m^2 - m - 7/8 = 0 tem uma raiz dupla ==>
>
> Delta = (1 - 2m)^2 - 4*2*(m^2 - m - 7/8) = 0 ==>
> 1 - 4m + 4m^2 - 8m^2 + 8m + 7 = 0 ==>
> -4m^2 + 4m + 8 = 0 ==>
> m^2 - m - 2 = 0 ==>
> m = 2  ou  m = -1.
>
> m = 2 ==> 2y^2 - 3y + 9/8 = 0 ==> y = 3/4 ==> x = -5/4 ==> P = (-5/4,3/4)
>
> m = -1 ==> 2y^2 + 3y + 9/8 = 0 ==> y = -3/4 ==> x = 1/4 ==> P = (1/4,-3/4)
>
>
> *****
>
> Boa sorte no seu exame.
>
> Um abraco,
> Claudio.
>  
>
>
>
> > ----- Original Message ----- 
> > From: J Augusto Tavares <mailto:frolstty@ig.com.br>  
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br 
> > Sent: Thursday, August 14, 2003 7:40 AM
> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] OUTRAS Questões Esaex
> >
> > numerador--[(y^3 - 1) + (y^4 -1) + (y^6 - 1)] 
> >
> > denominador--(y^6 - 1) 
> >
> > vou fatorar .... 
> >
> > (y^3 - 1) <=> (y -1)(y^2 + y + 1) 
> >
> > (y^4 -1) <=> (y -1)(y^3 +y^2 + y + 1) 
> >
> > (y^6 - 1) <=>(y^3 + 1)(y^3 -1)<=>(y^3+1)(y -1)(y^2 + y + 1) 
> >
> > agora: 
> >
> > numerador( vou colar (y-1) em evidencia):  (y-1)[(y^2 + y + 1) + (y^3 +y^2 + y + 1) + (y^3+1)(y^2 + y + 1)] 
> >
> > denominador: (y^3+1)(y -1)(y^2 + y + 1), 
> >
> > eliminando y-1 de ambos e substituindo y por 1, 
> >
> > numerador: 13, denominador:6, ou seja, 13/6 esse limite! 
> >
> > se eu nao errei nada, eh claro! eheheh 
> >
> >                                                                   Abracao 
> >
> >                                                                               Guto. 
> >
> > obs.: eu so nao tinha efetuado as contas, mas daria um resultado sim ...! 
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> > > Resposta: 
> > >
> > >     Fazendo  (x+1) = y^12 , como x->0  ,   y->1. 
> > >
> > >  (y^3 + y^4 + y^6 - 3)/(y^6 - 1) ,  [(y^3 - 1) + (y^4 -1) + (y^6 - 1)]/[(y^3 + 1)(y^3 -1)] 
> > >
> > >  eleminando o fator (y-1), nao existira mais  a indeterminacao ! 
> > >
> > >
> > > Esta fatoração vai te levar novamente a (y^2 + 1)(y + 1)(y - 1) / (y + 1)(y2 -y + 1)(y - 1)(y^2 + y + 1)
> > > Faremos um bocado de conta e o resultado não bate!!!! 
> > >  
>