Re: [obm-l] Re: <not subject>

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Aug 13, 2003 at 07:06:06PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote:
> Olá Dirichlet,
> 
> eu também pensei sobre o problema: demonstrar que não existe uma função nos
> reais contínua nos racionais e somente neles. Sequer tenho alguma estratégia
> ou alguma idéia de como atacar o problema. Será que alguém pode dar uma
> sugestão? O único "progresso" que fiz - que nem sei se está certo - é intuir
> que os racionais não são um conjunto tão especial neste enunciado, eu
> suspeito que podemos substituir por enumeraveis densos nos reais.
> 
> Quem quiser fazer comentários, sinta-se à vontade.

Isto é essencialmente um corolário do teorema de Baire.

Se a função é descontínua em um ponto x então existe um n tal que para todo
delta > 0 exitem x1, x2, |x - x1| < delta, |x - x2| < delta,
com |f(x1) - f(x2)| >= 1/n. Seja Xn o conjunto dos x que satisfazem esta
condição (para n dado). Prove que Xn é fechado. Se f é contínua nos racionais
prove que Xn tem interior vazio. A união de todos os Xn e de todos os conjuntos
da forma {x} com x racional não pode ser igual a R.

A sua intuição está certíssima. Não apenas a mesma prova se aplica mas
dados dois subconjuntos Y1 e Y2 enumeráveis densos de R, existe uma
bijeção crescente (portanto contínua e com inversa contínua) g com g(Y1) = Y2.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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