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Re: [obm-l] Problema 6 do dia 1 da IMC-rascunhos
Ah,eu nao li sua soluçao ainda mas me lembrei do
artigo.Va no link
http://www.unl.edu/amc/a-activities/a4-for-students/
Ai estara um artigo do Kiran sobre desigualdades.
Talvez depois eu acabe o problema...
--- Claudio Buffara
<claudio.buffara@terra.com.br> escreveu: > on
08.08.03 17:16, Johann Peter Gustav Lejeune
> Dirichlet at
> peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:
>
> > Oi turma!!!!!!!!Ontem imprimi a prova da
> decima
> > IMC.Eu nao consegui fazer muita coisa,afinal
> > ainda estou nmo ensino me dio.Mas parei pra
> > pensar no problema seis no onibus enquanto
> > voltava a casa.Aqui vai um resumo.
> >
> > "Seja f(x)=soma de 1 ate n de a_n*x^n um
> > polinomio em R[x].Se f(t)=0 acarreta Re(t)<0
> > entao a_k*a_(k+3)<a_(k+2)*a_(k+3)"
> > Podemos supor que o polinomio e monico.
> > Consegui resolver isto no caso n=3:
> > Caso 1:as raizes sao reais.Logo o polinomio
> pode
> > ser escrito na forma (t+t1)(t+t2)(t+t3) com
> os ts
> > positivos.Assim basta abrir e conferir a
> > desigualdade automaticamente!
> > Caso 2:complexos nas raizes.Basta fazer
> > Re(f)=Im(f)=0,escrever e usar o caso
> anterior!
> >
> > Pro caso geral tive uma ideia bem
> legal.Tentem
> > ver se este artigo ainda esta online,senao...
> >
> > Parece Parece que na pagina da AMS tem algo
> do
> > Kiran Kedlaya sobre desigualdades.Tem um
> truque
> > util que deve dar para o gasto nesse
> problema...
> > Favor procurar em www.ams.org algo
> parecido...
> >
> Oi, Dirichlet:
>
> O enunciado na verdade diz que:
> a(k)*a(k+3) < a(k+1)*a(k+2) para k = 0,1,..,
> n-3
>
> *****
>
> Esse deu um certo trabalho...
>
> Na minha opiniao, a observacao mais importante
> para esse problema eh a
> seguinte:
> Se todas as raizes de um dado polinomio real
> p(x) tem parte real negativa,
> entao os fatores irredutiveis de p(x) serao da
> forma:
> (x + a), onde a eh um real positivo
> ou
> (x^2 + bx + c), onde b e c sao reais positivos.
> Assim, se p(x) = a(0) + a(1)*x + ... +
> a(n)*x^n, entao todos os a(i) terao o
> mesmo sinal (em particular, se p(x) for monico,
> entao todos os coeficientes
> serao positivos)
>
> Isso quer dizer que, para 0 <= i <= j <= n,
> teremos a(i)*a(j) > 0.
>
> *****
>
> Os casos onde grau(p(x)) = 1, 2 e 3 podem ser
> verificados por inspecao, como
> voce disse.
>
> Hipotese de inducao:
> Suponha que o resultado seja verdadeiro para
> polinomios de grau <= n.
>
> Seja p(x) = b(0) + b(1)*x + ... +
> b(n+1)*x^(n+1) um polinomio de grau n+1
> cujas raizes tem parte real negativa.
>
> Precisamos considerar apenas dois casos:
>
> CASO 1: Todas as raizes de p(x) sao reais (e
> negativas).
> Nesse caso, podemos escolher duas dessas raizes
> e chamar a sua soma -t e seu
> produto de u (u, t: reais positivos).
>
> CASO 2: p(x) possui (pelo menos) um par de
> raizes complexas conjugadas.
> Nesse caso, podemos chamar as suas partes reais
> (que sao iguais) de -t/2 e
> seus modulos (tambem iguais) de raiz(u) (u, t:
> reais positivos).
>
> Em ambos os casos podemos escrever:
> p(x) = (x^2 + tx + u)*q(x), onde q(x) eh um
> polinomio de grau n-1 cujas
> raizes tem parte real negativa.
>
> *****
>
> q(x) = a(0) + a(1)*x + ... + a(n-1)*x^(n-1) ==>
>
> Para 0 <= k <= n+1, a relacao entre os
> coeficientes de p(x) e q(x) eh:
>
> b(k) = u*a(k) + t*a(k-1) + a(k-2)
>
> onde convencionamos que:
> a(-2) = a(-1) = a(n) = a(n+1) = 0.
>
> *****
>
> Seja k um inteiro tal que 0 <= k <= n-2.
>
> b(k+1)*b(k+2) - b(k)*b(k+3) =
>
> [u*a(k+1) + t*a(k) + a(k-1)]*[u*a(k+2) +
> t*a(k+1) + a(k)] -
> [u*a(k) + t*a(k-1) + a(k-2)]*[u*a(k+3) +
> t*a(k+2) + a(k+1)] =
>
> [a(k+1)a(k+2) - a(k)a(k+3)]*u^2
> + [a(k+1)^2 - a(k-1)a(k+3)]*u*t
> + [a(k)a(k+1) - a(k-1)a(k+2)]*t^2
> + [a(k-1)a(k+2) - a(k-2)a(k+3)]*u
> + [a(k)^2 - a(k-2)a(k+2)]*t
> + [a(k-1)a(k) - a(k-2)a(k+1)] =
>
> A*u^2 + B*u*t + C*t^2 + D*u + E*t + F, onde,
> pela hipotese de inducao
> aplicada a q(x), os coeficientes A, C, D e F
> sao positivos.
>
> a(k-1)a(k) > a(k-2)a(k+1) > 0 (vide observacao
> acima)
> a(k)a(k+1) > a(k-1)a(k+2) > 0 ==>
>
> Multiplicando ambas as desigualdades, obtemos:
> a(k-1)a(k)^2a(k+1) > a(k-2)a(k-1)a(k+1)a(k+2)
>
> Dividindo ambos os membros por a(k-1)a(k+1)
> (que eh uma quantidade
> positiva), obtemos:
> a(k)^2 > a(k-2)a(k+2) ==>
>
> E = a(k)^2 - a(k-2)a(k+2) > 0
>
> Analogamente, podemos provar que B > 0.
>
> Ou seja, t, u, A, B, C, D, E, F sao todos
> positivos ==>
>
> b(k+1)b(k+2) - b(k)b(k+3) > 0 e acabou!!!
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista
> e usar a lista em
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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