Re: [obm-l] Problema 6 do dia 1 da IMC-rascunhos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 08.08.03 17:16, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at
peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:

> Oi turma!!!!!!!!Ontem imprimi a prova da decima
> IMC.Eu nao consegui fazer muita coisa,afinal
> ainda estou nmo ensino me dio.Mas parei pra
> pensar no problema seis no onibus enquanto
> voltava a casa.Aqui vai um resumo.
> 
> "Seja f(x)=soma de 1 ate n de a_n*x^n um
> polinomio em R[x].Se f(t)=0 acarreta Re(t)<0
> entao a_k*a_(k+3)<a_(k+2)*a_(k+3)"
> Podemos supor que o polinomio e monico.
> Consegui resolver isto no caso n=3:
> Caso 1:as raizes sao reais.Logo o polinomio pode
> ser escrito na forma (t+t1)(t+t2)(t+t3) com os ts
> positivos.Assim basta abrir e conferir a
> desigualdade automaticamente!
> Caso 2:complexos nas raizes.Basta fazer
> Re(f)=Im(f)=0,escrever e usar o caso anterior!
> 
> Pro caso geral tive uma ideia bem legal.Tentem
> ver se este artigo ainda esta online,senao...
> 
> Parece Parece que na pagina da AMS tem algo do
> Kiran Kedlaya sobre desigualdades.Tem um truque
> util que deve dar para o gasto nesse problema...
> Favor procurar em www.ams.org algo parecido...
> 
Oi, Dirichlet:

O enunciado na verdade diz que:
a(k)*a(k+3) < a(k+1)*a(k+2) para k = 0,1,.., n-3
 
*****

Esse deu um certo trabalho...

Na minha opiniao, a observacao mais importante para esse problema eh a
seguinte:
Se todas as raizes de um dado polinomio real p(x) tem parte real negativa,
entao os fatores irredutiveis de p(x) serao da forma:
(x + a), onde a eh um real positivo
ou
(x^2 + bx + c), onde b e c sao reais positivos.
Assim, se p(x) = a(0) + a(1)*x + ... + a(n)*x^n, entao todos os a(i) terao o
mesmo sinal (em particular, se p(x) for monico, entao todos os coeficientes
serao positivos)

Isso quer dizer que, para 0 <= i <= j <= n, teremos a(i)*a(j) > 0.

*****
  
Os casos onde grau(p(x)) = 1, 2 e 3 podem ser verificados por inspecao, como
voce disse.

Hipotese de inducao:
Suponha que o resultado seja verdadeiro para polinomios de grau <= n.

Seja p(x) = b(0) + b(1)*x + ... + b(n+1)*x^(n+1) um polinomio de grau n+1
cujas raizes tem parte real negativa.

Precisamos considerar apenas dois casos:

CASO 1: Todas as raizes de p(x) sao reais (e negativas).
Nesse caso, podemos escolher duas dessas raizes e chamar a sua soma -t e seu
produto de u (u, t: reais positivos).

CASO 2: p(x) possui (pelo menos) um par de raizes complexas conjugadas.
Nesse caso, podemos chamar as suas partes reais (que sao iguais) de -t/2 e
seus modulos (tambem iguais) de raiz(u) (u, t: reais positivos).

Em ambos os casos podemos escrever:
p(x) = (x^2 + tx + u)*q(x), onde q(x) eh um polinomio de grau n-1 cujas
raizes tem parte real negativa.

*****

q(x) = a(0) + a(1)*x + ... + a(n-1)*x^(n-1) ==>

Para 0 <= k <= n+1, a relacao entre os coeficientes de p(x) e q(x) eh:

b(k) = u*a(k) + t*a(k-1) + a(k-2)

onde convencionamos que:
a(-2) = a(-1) = a(n) = a(n+1) = 0.

*****

Seja k um inteiro tal que 0 <= k <= n-2.

b(k+1)*b(k+2) - b(k)*b(k+3) =

[u*a(k+1) + t*a(k) + a(k-1)]*[u*a(k+2) + t*a(k+1) + a(k)] -
[u*a(k) + t*a(k-1) + a(k-2)]*[u*a(k+3) + t*a(k+2) + a(k+1)] =

[a(k+1)a(k+2) - a(k)a(k+3)]*u^2
+ [a(k+1)^2 - a(k-1)a(k+3)]*u*t
+ [a(k)a(k+1) - a(k-1)a(k+2)]*t^2
+ [a(k-1)a(k+2) - a(k-2)a(k+3)]*u
+ [a(k)^2 - a(k-2)a(k+2)]*t
+ [a(k-1)a(k) - a(k-2)a(k+1)] =

A*u^2 + B*u*t + C*t^2 + D*u + E*t + F, onde, pela hipotese de inducao
aplicada a q(x), os coeficientes A, C, D e F sao positivos.
   
a(k-1)a(k) > a(k-2)a(k+1) > 0  (vide observacao acima)
a(k)a(k+1) > a(k-1)a(k+2) > 0 ==>

Multiplicando ambas as desigualdades, obtemos:
a(k-1)a(k)^2a(k+1) > a(k-2)a(k-1)a(k+1)a(k+2)

Dividindo ambos os membros por a(k-1)a(k+1) (que eh uma quantidade
positiva), obtemos:
a(k)^2 > a(k-2)a(k+2) ==>

E = a(k)^2 - a(k-2)a(k+2) > 0

Analogamente, podemos provar que B > 0.

Ou seja, t, u, A, B, C, D, E, F sao todos positivos ==>

b(k+1)b(k+2) - b(k)b(k+3) > 0 e acabou!!!

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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