Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos.

["Eduardo Wagner" <wagner@xxxxxxx>]

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>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l]  BELEZA: belgas e pontos.
>Date: Sat, Aug 9, 2003, 10:37 PM
>

> On Sat, Aug 09, 2003 at 08:42:04PM -0300, Augusto Cesar de Oliveira Morgado
> wrote:
>> Os teoremas a respeito de as seçoes do cone por planos que nao contem o
>> vertice serem elipses, parabolas ou hiperboles foram demonstrados por dois
>> belgas, Quetelet e Dandelin, e sao conhecidos por muitos como os teoremas
>> belgas. As demonstraçoes sao particularmente elegantes e surpreendentemente
>> simples, principalmente se expostas no quadro-negro pelo Wagner.
>
> Ok. A demonstração do Wagner deve ser uma que envolve desenhar umas esferas.
> É legal, mas não é minha demonstração favorita deste fato.
> Por mim a demonstração "certa" consiste em observar que o cone tem equação
> de grau 2 (x^2 + y^2 = z^2) e rodar ou transladar não altera o grau.
> Tomar a interseção com um plano, digamos o plano z=0, já que rodamos,
> também não altera o grau (só estamos eliminando os termos que envolvem z).
> Logo a interseção é uma curva de grau 2 e já sabemos o que estas curvas são.
>
> Observe que assim também demonstramos que a interseção de um parabolóide
> ou um hiperbolóide com um plano também é uma cônica. Em particular,
> a interseção de um hiperbolóide de revolução de uma folha (x^2 + y^2 = 1 +
z^2)
> com um plano tangente tem um ponto duplo, logo é um par de retas.
>
> []s, N.

Nao ha duvida sobre o que esta escrito acima. Entretanto, ha um pedaco de
frase assim: "e ja sabemos o que estas curvas sao".
Sim! Nos sabemos, mas os alunos provavelmente nao.

Ja que fui citado (ou provocado) em mensagem anterior, quero dizer que
os alunos podem perfeitamente conhecer as conicas muito antes de estarem
familiarizados com a geometria analitica no espaco, translacoes e rotacoes.
E isto eh muito bom. Conhecer desde cedo as curvas e suas diversas formas,
definidas por um unico numero chamado excentricidade.
A demonstracao "legal" que usa as esferas eh totalmente elementar e permite
obter um resultado surpreendente que vai agora para a "beleza matematica"
da lista.

Em um cone (duplo) as geratrizes fazem angulo X com o eixo do cone e um
plano corta esse cone fazendo angulo Y com o eixo. Entao a secao do plano
com o cone eh uma curva cuja excentricidade eh cosY/cosX.

Abracos.

E. Wagner.









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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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