[obm-l] Re: [obm-l] Opção_de_Compra

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

>
> Olá Claudio!
>
> Interessante isso! :)
> Se o comprador pega a ações emprestado, ele terá que
> devolver daqui um ano a ações mais 100*a*0,2 (20% do
> valor do empréstimo), ou seja, a ações + 20a

Na verdade, 20% é a taxa de juros para empréstimos e aplicações de reais e
não de ações (desculpe-me se eu não deixei isso claro antes). Para este
problema, vamos assumir que você toma ações emprestadas a 0% aa.

> se ele vender essa ação emprestada, ele embolsará
> 100*a reais
> então, supondo que x < 100a:
> comprando a opção, sobrará 100a-x, o que ele poderá
> investir, obtendo (100a-x)*1,2 em 1 ano.
> ai temos dois casos:
>
> (i) a ação está valendo R$50
> ele deverá comprar a ações por 50*a, para devolver a
> ações + 20a para o cara que emprestou as ações.
> nesse caso, ele gastará R$ 70a
> o que ele deve ter, para não ter prejuíso, então:
> (100a-x)*1,2 >= 70a <=> 100a-x >= 84a <=> 16a >= x <=>
> a >= x/16
>
> (ii) a ação está valendo R$ 200
> ele exerce a opção e compra 1 ação por R$ 110,
> mas ele tem que devolver a ações, e ainda pagar 20a
> reais.
> então lhe sobra 200 - 200a - 20a = 200-220a
> para ele não ter prejuíso: 200-220a >= 0 <=>
> 200 >= 220a <=> 20 >= 22a <=> 10/11 >= a
> então:
>
> x/16 <= a <= 10/11
> mas para o vendedor não ter prejuíso, x >= 40
> será que o vendedor também deve pegar emprestado a
> ação, em vez de emprestar dinheiro do banco, para
> depois comprar a ação?
>
> Abraços,
> Hélder
>
Fora o detalhe do custo do aluguel de ações, eu diria que você pegou o
espírito da coisa.
Tanto que eu vou dar a minha solução pro problema.

Vamos assumir o ponto de vista do vendedor da opção:

Na data inicial ele:
- Vende 1 opção ==> Recebe  x
- Compra "a" ações ==> Paga 100a
- Toma o saldo emprestado ==> Recebe (100a - x)
Saldo Líquido = Zero

Dentro de 1 ano, teremos 2 situações possíveis:
1) Ação vale R$ 200:
- Repaga empréstimo ==> Paga (100a - x)*1,2
- Compra (1-a) ações ==> Paga 200*(1 - a)
- Vende 1 ação contra exercício da opção ==> Recebe 110
Saldo Líquido: Recebe 110 - 200*(1 - a) - (100a - x)*1,2

2) Ação vale R$ 50:
- Repaga empréstimo ==> Paga (100a - x)*1,2
- Vende a ações na bolsa ==> Recebe 50a
Saldo Líquido: Recebe 50a - (100a - x)*1,2

Como na data inicial, ele não pagou nem recebeu nada (saldo = zero), a fim
de evitar a possibilidade de uma arbitragem (lucro garantido com risco
zero), dentro de 1 ano ele também não deverá pagar ou receber nada.
Ou seja, em ambos os cenários o seu saldo deverá ser Zero. Isso implica que:

110 - 200*(1 - a) - (100a - x)*1,2 = 0
50a - (100a - x)*1,2 = 0 ==>

80a + 1,2x = 90
-70a + 1,2x = 0  ==>

a = 3/5  e  x = 35

Ou seja, o preço justo da opção é R$ 35,00 e a fim de se proteger o vendedor
deve, após vendê-la, comprar 0,6 ações.

Repare que o preço justo da opção independe da distribuição de probabilidade
dos preços futuros da ação. Essa é a beleza da "sacada" do Black e do
Scholes: existe uma quantidade de ações (o "a" acima) que o vendedor da
opção pode comprar a fim de exatamente neutralizar o risco da opção.

Um abraço,
Claudio.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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