Re: [obm-l] Demonstração da trigonometria

[Alexandre Daibert <alexandredaibert2@xxxxxxxxx>]

Mas é utilizado apenas um conhecimento básico de derivadas, aí é bem 
tranquilo...
:c)


Claudio Buffara escreveu:

> on 29.07.03 03:43, Alexandre Daibert at alexandredaibert2@ig.com.br wrote:
>
>     Desculpe pela pressa ao escrever este problema.
>
>     Na primeira resolução você não teria também que provar para n=0 ??
>     (ou, naturalmente restringir para naturais positivos)
>
>     *** Tudo bem. Como voce nao tinha especificadao um universo para
>     n, eu assumi que era o conjunto dos inteiros positivos. De
>     qualquer jeito, o caso n = 0 eh trivial: basta tomar x tal que
>     cos(x) <> 0 e sen(x) <> 0, e teremos cos^0(x) + sen^0(x) = 1 + 1 = 2.
>
>     A segunda resolução é realmente bem mais interessante.
>     :-P
>
>     *** Tambem acho, mas talvez nao seja de nivel secundario....
>
>     Um abraco,
>     Claudio.
>
>     Claudio Buffara escreveu:
>
>         Oi, Alexandre:
>
>         Inicialmente, vou resolver este problema supondo que o
>         universo de n eh o
>         conjunto dos naturais:
>
>         A minha ideia eh provar que se n <> 2, entao existira um valor
>         de x para o
>         qual a identidade falha.
>
>         Naturalmente, vale cos^2(x) + sen^2(x) = 1 para todo x.
>
>         1) n eh impar:
>         Nesse caso, tome x = 5pi/4 ==> cos(x) = sen(x) = - 1/raiz(2) ==>
>         cos^n(x) + sen^n(x) < 0 < 1
>
>         2) n eh par e > 2:
>         Nesse caso, tome x = Pi/4 ==> cos(pi/4) = sen(pi/4) =
>         1/raiz(2) ==>
>         cos^n(pi/4) = sen^n(Pi/4) = 1/2^(n/2) < 1/2 ==>
>         cos^n(pi/4) + sen^n(pi/4) < 1/2 + 1/2 = 1
>
>         Logo, n soh pode ser igual a 2.
>
>         *****
>
>         O problema talvez fique mais interessante se restringirmos x
>         ao intervalo
>         (0,pi/2) e tomarmos o universo de n como sendo o conjunto dos
>         reais.
>
>         Para um x fixo (em (0,pi/2)) facamos f(n) = cos^n(x) + sen^n(x).
>
>         Derivando em relacao a n:
>         f'(n) = ln(cos(x))*cos^n(x) + ln(sen(x))*sen^n(x)
>
>         0 < sen(x) < 1  e  0 < cos(x) < 1 ==>
>         ln(sen(x)) < 0 e ln(cos(x)) < 0 ==>
>         f'(n) < 0 para todo n ==>
>         f eh monotona decrescente ==>
>         f eh injetiva ==>
>         existe um unico valor real de n para o qual f(n) = 1
>         (justamente n = 2).
>
>
>         Um abraco,
>         Claudio.
>
>         ----------
>         From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>         <mailto:claudio.buffara@terra.com.br>
>         Date: Mon, 28 Jul 2003 08:31:46 -0300
>         To: <obm-l@mat.puc-rio.br> <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
>         Subject: Re: [obm-l] Demonstração da trigonometria
>
>         Oi, Morgado:
>
>         Eu sei que voce desaprova tentativas de interpretar
>         enunciados, mas acho que
>         a questao eh demonstrar que:
>
>         Se cos^n(x) + sen^n(x) = 1 para todo x entao n = 2.
>
>         Um abraco,
>         Claudio.
>
>         on 28.07.03 08:26, Augusto Cesar de Oliveira Morgado at
>         morgado@centroin.com.br wrote:
>
>          
>
>             ???
>
>             Em Mon, 28 Jul 2003 05:55:06 -0300, Alexandre Daibert
>             <alexandredaibert2@ig.com.br>
>             <mailto:alexandredaibert2@ig.com.br>  disse:
>
>                
>
>                 Gostaria de uma demonstração formal para o seguinte (a
>                 nível de segundo
>                 grau por favor), procurei e não achei em nenhum lugar:
>
>                 sen^x + cos^x = 1
>
>                 provar que n=2
>
>                 Alexandre Daibert
>
>                 =========================================================================
>                 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar
>                 a lista em
>                 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>             Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
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>         Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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