Re: [obm-l] Demonstração da trigonometria

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Demonstração da trigonometria

on 29.07.03 03:43, Alexandre Daibert at alexandredaibert2@ig.com.br wrote:

> Desculpe pela pressa ao escrever este problema.
>
> Na primeira resolução você não teria também que provar para n=0 ?? (ou, naturalmente restringir para naturais positivos)
>
> *** Tudo bem. Como voce nao tinha especificadao um universo para n, eu assumi que era o conjunto dos inteiros positivos. De qualquer jeito, o caso n = 0 eh trivial: basta tomar x tal que cos(x) <> 0 e sen(x) <> 0, e teremos cos^0(x) + sen^0(x) = 1 + 1 = 2.
>
> A segunda resolução é realmente bem mais interessante.
>  :-P 
>
> *** Tambem acho, mas talvez nao seja de nivel secundario....
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> Claudio Buffara escreveu:
> > Oi, Alexandre:
> >
> > Inicialmente, vou resolver este problema supondo que o universo de n eh o
> > conjunto dos naturais:
> >
> > A minha ideia eh provar que se n <> 2, entao existira um valor de x para o
> > qual a identidade falha.
> >
> > Naturalmente, vale cos^2(x) + sen^2(x) = 1 para todo x.
> >
> > 1) n eh impar:
> > Nesse caso, tome x = 5pi/4 ==> cos(x) = sen(x) = - 1/raiz(2) ==>
> > cos^n(x) + sen^n(x) < 0 < 1
> >
> > 2) n eh par e > 2:
> > Nesse caso, tome x = Pi/4 ==> cos(pi/4) = sen(pi/4) = 1/raiz(2) ==>
> > cos^n(pi/4) = sen^n(Pi/4) = 1/2^(n/2) < 1/2 ==>
> > cos^n(pi/4) + sen^n(pi/4) < 1/2 + 1/2 = 1
> >
> > Logo, n soh pode ser igual a 2.
> >
> > *****
> >
> > O problema talvez fique mais interessante se restringirmos x ao intervalo
> > (0,pi/2) e tomarmos o universo de n como sendo o conjunto dos reais.
> >
> > Para um x fixo (em (0,pi/2)) facamos f(n) = cos^n(x) + sen^n(x).
> >
> > Derivando em relacao a n:
> > f'(n) = ln(cos(x))*cos^n(x) + ln(sen(x))*sen^n(x)
> >
> > 0 < sen(x) < 1  e  0 < cos(x) < 1 ==>
> > ln(sen(x)) < 0 e ln(cos(x)) < 0 ==>
> > f'(n) < 0 para todo n ==>
> > f eh monotona decrescente ==>
> > f eh injetiva ==> 
> > existe um unico valor real de n para o qual f(n) = 1 (justamente n = 2).
> >
> >
> > Um abraco,
> > Claudio.
> >  
> > ----------
> > From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> <mailto:claudio.buffara@terra.com.br> 
> > Date: Mon, 28 Jul 2003 08:31:46 -0300
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br> <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br> 
> > Subject: Re: [obm-l] Demonstração da trigonometria
> >
> > Oi, Morgado:
> >
> > Eu sei que voce desaprova tentativas de interpretar enunciados, mas acho que
> > a questao eh demonstrar que:
> >
> > Se cos^n(x) + sen^n(x) = 1 para todo x entao n = 2.
> >
> > Um abraco,
> > Claudio.
> >
> > on 28.07.03 08:26, Augusto Cesar de Oliveira Morgado at
> > morgado@centroin.com.br wrote:
> >
> >   
> > > ???
> > >
> > > Em Mon, 28 Jul 2003 05:55:06 -0300, Alexandre Daibert
> > > <alexandredaibert2@ig.com.br> <mailto:alexandredaibert2@ig.com.br>  disse:
> > >
> > >     
> > > > Gostaria de uma demonstração formal para o seguinte (a nível de segundo
> > > > grau por favor), procurei e não achei em nenhum lugar:
> > > >
> > > > sen^x + cos^x = 1
> > > >
> > > > provar que n=2
> > > >
> > > > Alexandre Daibert
> > > >
> > > > =========================================================================
> > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > > =========================================================================
> > > >
> > > >
> > > >       
> > > =========================================================================
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > =========================================================================
> > >
> > >     
> >
> > =========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > =========================================================================
> >
> >
> >