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Re: [obm-l] Divisibilidade
Title: Re: [obm-l] Divisibilidade
Interessante!
Essa demonstracao do Morgado mais os seguintes fatos:
1^(4n) + 2^(4n) + 3^(4n) + 4^(4n) == 1 + 1 + 1 = 1 == 4 (mod 5)
e
1^(4n+2) + 2^(4n+2) + 3^(4n+2) + 4^(4n+2) == 1 + 4 + 9 + 16 = 30 == 0 (mod 5)
provam a seguinte generalizacao:
1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n eh divisivel por 5
se e somente se
n NAO for divisivel por 4.
Um abraco,
Claudio.
on 29.07.03 17:23, A. C. Morgado at morgado@centroin.com.br wrote:
Poderia tambem ter sido resolvido usando a^m + b^m = (a+b) (a^(m-1) - b*a^(m-2) +...-b^(m-2) *a +b^(m-1)) se m eh impar, o que mostra que se a e b sao inteiros e m eh impar, a^m + b^m eh divisivel por a+b.
(1^97 + 4^97) + (2^97 + 3^97) + 5^97 eh uma soma de tres multiplos de 5.
Claudio Buffara wrote:
on 29.07.03 15:10, amurpe at amurpe@bol.com.br wrote:
Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questão.
mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 é divisivel
por 5.
Muito obrigado.
Um abraço.
Amurpe
Oi, Amurpe:
Este eh um caso tipico onde congruencias ajudam (no caso, mod 5):
Para n = 1, 2, 3 e 4, o Pequeno Teorema de Fermat diz que n^4 == 1 (mod 5).
(para estes valores de n e para mod 5, isso pode ser verificado "na mao",
sem usar o PTF)
Logo: n^97 = n^96*n = (n^4)^24*n == 1^24*n == 1*n == n (mod 5).
Obviamente 5^97 == 0 (mod 5).
Assim:
1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 == 1 + 2 + 3 + 4 + 0 = 10 == 0 (mod 5)
*****
Ja que o assunto eh divisibilidade, aqui tem um sobre mdc pra voce tentar:
Sejam a, b, c inteiros tais que mdc(b,c) = 1.
Prove que: mdc(a,b*c) = mdc(a,b)*mdc(a,c)
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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