[obm-l] arcos de 2pi/3 delimitados por 21 pontos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

> Sao dados 21 pontos numa
> circunferencia. Mostre que pelo menos 100 arcos
> determinados por estes pontos medem menos de
> 2/3*pi.
> 

Vamos dividir a circunferencia em 6 arcos iguais, adjacentes e disjuntos 2 a
2, cada um medindo pi/3 (de forma que a uniao dos 6 arcos seja a
circunferencia toda). Chamemo-los de C1, C2, C3, C4, C5 e C6.

Seja Ni (1 <= i <= 6) o numero de pontos no arco Ci.

Naturalmente, cada Ni >= 0  e  N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = 21.

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Em seguida, vamos contar o numero de arcos de medida inferior a 2pi/3.

Inicialmente, para cada i (1<=i<=6), cada arco determinado por um par de
pontos de Ci mede menos de 2pi/3. Este numero eh C(Ni,2).

Alem disso, arcos delimitados por um ponto de Ci e um de C(i+1) (ou C1, se i
= 6) tambem medem menos de 2pi/3. O numero de tais arcos eh Ni*N(i+1)

Assim, o numero total de arcos medindo menos de 2pi/3 eh:
N = C(N1,2) + C(N2,2) + ... + C(N6,2) + N1*N2 + N2*N3 + ... + N5*N6 + N6*N1.

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Agora, basta provar que N eh sempre >= 100, desde que:
N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = 21 e que Ni >= 0 para 1 <= i <= 6.

Como N eh convexa e simetrica em cada uma das 6 variaveis N1, ..., N6, o
valor minimo de N irah ocorrer justamente quando os Ni forem tao proximos
uns dos outros quanto possivel. No caso, tres dos Ni devem ser iguais a 3 e
os outros tres iguais a 4.

Assim, N = 3*C(3,2) + 3*C(4,2) + 2*(3*3) + 2*(3*4) + 2*(4*4) = 101 > 100.

Qualquer outra distribuicao dos Ni que nao seja uma prmutacao de
(3,3,3,4,4,4) irah produzir um valor maior para N.
Por exemplo:
(2,3,3,4,4,5) ==> N = 102;
(3,3,3,3,4,5) ==> N = 102;
(1,2,3,4,5,6) ==> N = 111; etc...

Em suma, havera sempre 101 ou mais arcos de medida inferior a 2pi/3.


Um abraco,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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